Page 166 - vol2
P. 166
2. feladat: Mutassuk meg, hogy bármely n 1 természetes szám
esetén igaz a következő egyenlőtlenség:
1 3 5 ... (2n − 3) (2n − 1) 1
2 4 6 ... (2n − 2) (2 ) < 2n
n
1 1
Az első látásra a feladat triviálisnak tűnhet, hiszen az < nyil-
2n + 1 2n
vánvaló egyenlőtlenség alapján az 1. feladat élesebb (szigorúbb) egyenlőtlensé-
get fejez ki mint ez utóbbi. Mindez ellenére, a feladatnak megvan a maga érde-
kessége hiszen ha a M.i. módszerével akarnánk bebizonyítani, akkor az 1. példa
esetén is ellenőrizendő lépés
1 2n + 1 1 vagyis (2n + 1) 4 (n n +
2
2n 2n + 2 2n + 2 1) 1 0
hamis állításhoz jutnánk. Kihangsúlyozzuk, hogy a M.i. módszere alkalmazása-
kor találkozhatunk olyan esetekkel is, amikor egy szigorúbb (élesebb) egyenlőt-
lenség bizonyítását sikeresen elvégezhetjük, ellenben egy kevésbé szigorú
egyenlőtlenség bizonyítására a M.i. nem alkalmas. A 2. feladat bizonyítását
természetesen az 1. feladat bizonyítása által kapjuk meg (tehát előbb egy kevés-
bé éles egyenlőtlenséget bizonyítunk), majd felhasználjuk a tranzitivítást
1 1
(a láncszabályt), miszerint < nyilvánvalóan igaz.
2n + 1 2n
Az előző feladatok kapcsán természetesen merült fel az az elvárás, hogy
az E kifejezésre az előbbieknél élesebb (szigorúbb) egyenlőtlenségeket kap-
n
junk. Íme egy ilyen egyenlőtlenség:
3. feladat: Mutassuk meg, hogy bármely n 1 természetes szám ese-
tén igaz a következő egyenlőtlenség:
1 3 5 ... (2n − 3) (2n − 1) 1
2 4 6 ... (2n − 2) (2 ) 3n + 1
n
A feladat bizonyítása könnyedén megy a M.i. -val , hiszen elegendő ellenőrizni
1 2n + 1 1
a következő egyenlőtlenséget: ami a 0 n
3n + 2n + 2 3n + 4
1
nyilvánvaló egyenlőtlenséghez vezet.
Természetesen merül fel a kérdés, hogy az E kifejezésre létezik-e
n
jobb felső becslés és ez bizonyítható-e a M.i.-val. Ennek a megválaszolását
későbbre halasszuk, hiszen akkor már több más információ birtokában leszünk.
166
