Page 160 - vol2

+
+
+
+
a n k − a = (a n k − a n k− 1 ) (a n k− 1 − a n k− 2 ) (a n k− 2 − a n k− 3 ) ... (a n+ 1 − a n ) 
+
+
+
+
+
+
+
n
 a n k − a n k− 1 + a n k− 1 − a n k− 2 + a n k− 2 − a n k− 3 + ...+ a n+ 1 − a 
+
+
+
+
+
+
n
 (b n k − b n k− 1 ) (b+ n k− 1 − b n k− 2 ) (b+ n k− 2 − b n k− 3 ) ...+ + (a n+ 1 − a n ) =
+
+
+
+
+
+
= b n k − b  b n k − b
+
+
n
n
12. feladat:
Hozzuk kanonikus alakra az ( )f x = ax + bx c , f : R → R másodfokú
+
2
függvényt, ahol a, b, c valós számok, és a nem nulla.
Megoldás: Most is szükségünk lesz egy furcsa tevére ☺ ! Megpróbálunk
erőltetve is teljes négyzetet kialakítani:
 b c   b c 
2
2
2
+
x
f ( ) = ax + bx c = a x + x +  = a x + 2 x +  =


 a a   2a a 
 b c   b b 2 b 2 c 
= a x + 2 x +  = = a x + 2 x + − −  =
2
2


 2a a   2a 4a 2 4a 2 a 
  b  2 b 2 c    b  2    b  2 
= a   x +  − 2 −  = a   x +  − 2   = a x +   −



  2a  4a a    2a  4a   2a  4a
ahol  = b − 4ac .
2
13. feladat:
sin 2x
Egyszerűsítsük le a következő törtet: T = .
sin x + cos x + 1
Megoldás: Ezúttal eléggé álcázott tevére lesz szükség ☺ ! Rendre
felírható, hogy:
2
sin2x = sin2x + 1 1 2sin cos x + sin x + cos x − = (sin x + cos ) x − =
=
−
2
2
x
1
1
2
= (sin x + cos ) x − = (sin x + cos x + 1 ) (sin x + cos x − ) 1 .
1
(sin x + cos x + 1 ) (sin x + cos x − ) 1
Tehát T = = sin x + cos x − 1.
sin x + cos x + 1
14. feladat:
Legyen ( )x n n 1 pozitív számokból álló sorozat. Igazoljuk, hogy
n
S =  x k  1.
+
+
+
k= 1 (1 x 1 )(1 x 2 )...(1 x k )
Megoldás: Máris hozzuk a tevét ☺ ! Felírható, hogy
−
x k = x + k 1 1 =
+
+
+
+
+
+
(1 x 1 )(1 x 2 )...(1 x k ) (1 x 1 )(1 x 2 )...(1 x k )
160