Page 157 - vol2

+
+
2
63
+
+
2
x = 1 2 2 + ... 2 = 1 1 2 2 + ... 2 − =
+
63
+
+
1
63
+
= 2 2 4 8 ... 2 − = = 4 4 8 16 ... 2 − 1
+
+
+
63
+
+
+
+
+
+
1
+
+
+
+
+
63
= 4 4 8 16 ... 2 − =… és végül azt kapjuk, hogy
1
63
63
=
x = 2 + 2 − 1 2 2 − 1 2 − 1.

64
63
=
Egy másik megoldás- ugyancsak teveszabállyal- az, hogy az
egész műveletet átírjuk a 2-es számrendszerbe, ott elvégezzük a
műveletet, majd az eredményt visszaírjuk a 10-es számrendszerbe:
+
+
x = 1 2 2 + ... 2 = 111...11 =111...11 + 1 1 100...0 − = 2 − 1.
−
+
=
63
64
2
1
2
2
2
−
−
64 szer 64 szer 64darab
Tehát mindkét esetben x = 2 − 64 1 = 18.446.744.073.709.551.615
búzaszem adódik, azaz 18 trillió 446 744 billió 73 709 millió 551 ezer
615 búzaszemet kellene Sessa ebn Dahernek adniuk, olyan hatalmas
mennyiségű gabonát, amellyel 9 mm vastagon beboríthatnák az egész
földgolyót. Tehát a találmány valóban megfizethetetlen.
Ez az alkalmazott ötlet, amilyen egyszerű, olyan nagyszerű, mert
a matematikában a feladatok megoldása során nagyon sokszor
alkalmazzuk azt, hogy egy adott kifejezéshez hozzáadjuk és kivonjuk
ugyanazt a mennyiséget (vagy fordított sorrendben). Ezt az egyszerű
eljárást hívják teveszabálynak ☺.
A továbbiakban egy egész „csokor” olyan feladatot mutatunk be,
amelyet a teveszabály nélkül talán meg sem tudnánk oldani! Ezek a
típusú feladatok a matematika minden területén, és az 5.-12. osztályos
matematikai tevékenység során mindenütt fellelhetők.
2. feladat:
Miért nem lehet az a = 1234 5678 + 8765 4321 szám prímszám?
Megoldás: Hozzunk máris a tevét ☺ , vagyis adjunk hozzá 1-et és
vonjunk is ki 1-et:
+
−
a = 1234 5678 + 8765 4321 + 1 1=1234 5678 − 1 8765 4321 + 1. Mivel
=
−
=
=
n
−
x − y = M (x y , ezért 1234 5678 − 1 M (1234 1) M 1233 M , és
n
9
)
+
)
mivel x 2n + 1 + y 2n + 1 = M (x y , ezért
=
=
+
=
8765 4321 + 1 M (8765 1) M 8766 M , tehát a = M 9 .
9
3. feladat:
Ha ,a n N * −   1 igazoljuk, hogy (a − ) 1 (a − 1)  n (a − ) 1 .
n
2
Megoldás: Írjuk fel a következőket:
n
+
a − 1= (a − 1 ) (a n− 1 + a n− 2 + a n− 3 + ... a + ) 1 és nyilvánvalóan
(a − n 1) (a − ) 1 . Elegendő és szükséges is igazolni, hogy
157