Page 11 - vol2

2
R = xy  xy = R . Ezzel a feltétellel meg
kell állapítanunk a p=4(x+y) rombuszkerület
x + y
legkisebb értékét. Mivel  xy , ezért
2
p  R  p 
2
8 8R és egyenlőség az
x = y = R 2 esetben áll fenn, amikor is a

rombusz négyzetté alakul, és ekkor p min = 8R 2 .

6) Határozzuk meg az R sugarú körbe írt téglalapok közül azt, amelyiknek
a legnagyobb a területe!
Megoldás: A téglalap oldalait jelöljük x illetve y-nal.
2
Felírható, hogy x + 2 y = 2 4R . Továbbá ha T a téglalap
területe, akkor T = xy . Képezzük a következő függvényt:
2
4
2 2
−
2
2
y
)
x
f ( , ) = x y = x 2 (4R x = − x + 4R x . Ekkor az
2
2
2
t
t
t
x = jelöléssel, az f ( ) = − + 4R t függvény
b
2
minimumát kell meghatározni, amit a t = − = 4R
2a
esetben vesz fel, ahonnan x = R 2 és így y = R 2 ami azt jelenti, hogy a
téglalap akkor veszi fel a legnagyobb területet, amikor éppen négyzet.

7) Határozzuk meg, hogy adott négyzetbe írt négyzetek közül
melyiknek minimális a területe!
Megoldás: Legyen az eredeti négyzet oldala a. A
mellékelt ábra jelöléseit használva felírhatjuk,
hogy a beírt négyzet oldalhossza egyenlő
2
2
−
2
x + (a x ) = 2x − 2ax a , ezért a beírt
+
2
2
+
2
négyzet területe T = 2x − 2ax a aminek
minimuma van, és ezt a minimumot
b a
x = − = esetben veszi föl, vagyis akkor, amikor a beírt négyzet csúcsai
2a 2
éppen oldalfelező pontok.

11