Page 12 - vol2

8) Határozzuk meg az adott szabályos háromszögbe írt téglalapok közül
azt, amelynek a legnagyobb a területe!
Megoldás: A szabályos háromszög oldalhossza
legyen a, továbbá a téglalap méretei pedig x és y.
A mellékelt ábra jelöléseit használva számítsuk ki
a téglalap y méretű oldalhosszát:
2 
−
−
y = (a x −  a x  −  2 = (a x ) 3 . Tehát a
)
 2  2
téglalap területe
3 3 a 3
−
T = ( x a x = − x + x . Ennek a
2
)
2 2 2
b a
másodfokú kifejezésnek maximuma van, és ezt x = − = esetben veszi
2a 2
a 3
föl, amikor is y = vagyis a téglalap vízszintes oldal a középvonal, a
4
függőleges oldala a szabályos háromszög magasságának a felével egyenlő.

9) Az R sugarú negyedkörbe téglalapot írunk úgy, hogy egyik csúcs a
negyedkör középpontjában, másik csúcsa a negyedkörön legyen. Mikor
a legnagyobb ennek a területe?
Megoldás: A mellékelt ábra jelöléseit használva felírjuk
−
a téglalap területét: T = (R x )(R y és ugyanakkor
−
)
2
a + b 2
(R x) + (R y) = R . Az  ab
−
−
2
2
2
2
−
egyenlőtlenség alapján a = R − , x b = R y
R 2
választással  T adódik, egyenlőség a= b vagyis
2
R 2
x= y esetben áll fenn amikor is R x− = R − = vagyis a téglalap
y
2
tulajdonképpen négyzet.
10) Adva van egy háromszög a alapja és k kerülete. Mikor maximális
a terület?
+
+
k a b c
1. Megoldás: A Héron képlete szerint, ha p = = a háromszög
2 2
−
−
−
félkerülete, akkor T = ( p p a p b p c . Ebből állandó az a és a
)(
)(
)

12