Page 10 - vol2

 3p  2
az a) esetben ha p állandó, akkor T max =   , a b) esetben pedig ha T állandó,
 4 
4 T
akkor p = .
min
3
Tanulságos külön megvizsgálni a következő sajátos esetet:

3) A téglalap izoperimetrikus tételei:
a) Adott kerületű téglalapok közül a négyzetnek a legnagyobb a területe.
b) Adott területű téglalapok közül a négyzetnek a legkisebb a kerülete.
Bizonyítás: Jelöljük, x, y-nak a téglalap méreteit, T-vel a területét, K-val a
x + y
kerületét. Tehát T=xy és K=2(x+y). Az  xy középarányos
2
 K  2
egyenlőtlenség alapján azonnal adódik, hogy T    . És mivel az egyenlőség
 4 

csak x=y esetben áll fenn, ezzel beláttuk az állításainkat.

4) Keressük meg egy adott R sugarú kör köré írt egyenlő szárú trapéz
kerületének a minimumát!
Megoldás: A mellékelt ábra szerint jelölje x
illetve y a csúcsok távolságát az érintési
pontoktól. Meghúzva a trapéz két magasságát,
Pitagorasz tétele alapján
+
(2 ) = (x y − (x y ahonnan xy = R 2
−
2
2
2
)
R
)
. Ezzel a feltétellel meg kell állapítanunk a
p=4(x+y) trapézkerület legkisebb értékét. Mivel
x + y  xy , ezért p  R  p  8R és
2
2 8
egyenlőség az x = y = R 2 esetben áll fenn, amikor is a trapéz négyzetté
alakul, és ekkor p min = 8R 2 .

5) Mekkora a minimális kerületű rombusz oldala, ha a beírható kör sugara
R?
Megoldás: A mellékelt ábra szerint jelölje x illetve y a csúcsok távolságát az
érintési pontoktól. Mivel a rombusz átlói merőlegesek egymásra, ezért a
magasságtétel értelmében

10