Page 9 - vol2

b) Adott területű háromszögek közül az egyenlő oldalúnak a legkisebb a
kerülete.
Bizonyítás: Jelölje a, b, c az ABC háromszög megfelelő oldalainak a hosszát, és
+
+
a b c
legyen p = a háromszög félkerülete, és T a területe. Ekkor Heron
2
−
−
képlete szerint T = ( p p a p b p c . De a számtani és mértani
−
)(
)(
)
x + y + z
közepeknek az  3 xyz egyenlőtlensége alapján felírható, hogy
3
−
−
+
 ( p a ) ( p b ) ( p c  + − ) 3 p 4
−
−
−
2
T = ( p p a p b )(p c)  p   = vagyis
)(
 3  27
2
3 3 T   p (*)
Mivel a (*) egyenlőtlenségben az egyenlőség a=b=c esetben áll fenn, ezért a két
tétel állítása nyilvánvaló, sőt mi több, az a) esetben ha p állandó, akkor
3

T = p 2 , a b) esetben pedig ha T állandó, akkor p = 3 3 T .
max min
9
2) A négyszög izoperimetrikus tételei:
a) Adott kerületű négyszögek közül a négyzetnek a legnagyobb a területe.
b) Adott területű négyszögek közül a négyzetnek a legkisebb a kerülete.
Bizonyítás: Jelölje a, b, c, d az ABCD négyszög megfelelő oldalainak a hosszát, és
+
+
+
a b c d
legyen p = a négyszög félkerülete, és T a területe. A négyszögek
2
esetében is fennáll a Heron képlethez hasonló összefüggés:
+
B D
−
−
T = (p a p b p c )(p d) abcd  cos 2 .
−
−
−
)(
)(
2
x + + z t
+
y
De a számtani és mértani közepeknek az  4 xyzt egyenlőtlensége
4
alapján felírható, hogy
+
−
−
+
+
−
−
 ( p a ) ( p b ) ( p c ) (p d)  4  3p  4
2
T  ( p a p b )(p c)(p d)    =  
−
−
−
−
)(
 4   4 
+
B D
+
(**) Egyenlőség akkor áll fenn, ha először is cos 2 = 0  B D = 180
2
vagyis a négyszög körbeírható, továbbá még a= b= c= d is kell teljesüljön. Ezért
a (**) egyenlőtlenség alapján a két állítás bizonyítása nyilvánvaló, sőt mi több,

9