Page 123 - vol2

mondhatunk az így értelmezett sorozat monotonitásáról, korlátosságáról
és határértékéről? Hogyan magyarázzuk meg a látottakat?
Megoldás: Egy zsebszámológép kijelzőjén amely 8 karaktert tud
megjeleníteni, rendre ezt láthatjuk: 1.4141356; 1.1892071; 1.0905076;
1.0442737; 1.0218971; 1.0108892; 1.0054298; 1.0027112; 1.0013546;
1.0006770; 1.0003384; 1.0001691; 1.0000845; 1.0000422; 1.0000210;
1.0000104; 1.0000051; 1.0000025; 1.0000012; 1.0000005;
1.0000002; 1.0000001; 1.; 1.; 1.; …. Leolvashatók a következő
tulajdonságok:
1) Az így keletkezett sorozat szigorúan csökkenő. Ezt bizonyítani is
1
fogjuk! A szóban forgó sorozat tagjai rendre: a = 1 2 = 2 ,
2
1 1
a = a = 2 = 2 , a = a = 2 = 2 , és általában
3
2
2
2
1
2
3
2
−
(n + 1) gyök 1
a n+ 1 = a = ... 2 = 2 2 n+ 1 minden n  1 esetén. Könnyen
n
látható, hogy a  1 a = 1 a , ezért ha matematikai indukció módszerét
2
használjuk, és feltételezzük, hogy a n− 1  a , akkor az
n
a − a
a − a = a − a = n n− 1 összefüggés alapján azonnal
+
−
1
n
n
n
1
n
a + a n− 1
n
adódik, hogy a n+ 1  a , vagyis a sorozat valóban szigorúan csökkenő. A
n
monotonitást másképpen is bizonyíthatjuk, például, ha felírjuk, hogy
1
a n+ 1 = 2 2 n+ 1 = 2 − 2 1 n  2 = 1. Ez rövidebb az előző bizonyításnál de azt, a
0
a n 2 2 1 n
bizonyítási technika elsajátításáért láttuk fontosnak bemutatni.
2) Mivel a sorozat szigorúan csökkenő ezért van egy legjobb felső
korlátja, és így a  a 1 = 2, n  esetén. A számológép kijelzései

1
n
alapján az a sejtésünk, hogy a legjobb alsó korlát az 1, vagyis
1


0
n
1 a n , n  1 esetén. Ezt bizonyíthatjuk is, hiszen a = 2  2 = 1
2
n
nyilvánvaló n  1 esetén. Tehát a  ( 1, 2  n   1 esetén.
n
3) Mivel az ( ) 1 sorozat szigorúan csökkenő és korlátos, ezért a
a
n n
Weierstrasse tétele alapján a sorozat konvergens, vagyis van határértéke.
A zsebszámológép kijelzőjén ezt úgy érzékeljük, hogy bizonyos számú
123