Page 124 - vol2

műveletvégzés után a kijelzőn az 1 látható. Ez tehát azt jelenti, hogy
1
lima = 1, ami valóban igaz, mert lim2 2 n = 1 nyilvánvaló. Egyúttal az az
n→ n n→
ismert tétel is szemléltetésre került, miszerint egy monoton csökkenő
sorozat legjobb alsó korlátja éppen a sorozat határértéke, esetünkben
éppen az 1.
4) Továbbá magyarázásra szorul az, hogy bizonyos számú műveletvégzés
után, a számológép kijelzőjén miért jelenik meg mindig az 1-es. Ennek az
okára könnyen rájövünk, ha például egy 8-nál több kijelzős
számológépen végezzük a számolásokat, ahol az 1,0000000 után még 0-
tól különböző számjegyek is megjelennek. Tehát, a 8 karaktert kijelző
számológépen, valójában 7 tizedes pontossággal közelítettük meg a
sorozatnak a határértékét, az 1-et.
2. Kísérlet: Ugyanaz a feladat mint az előző kísérletben, csupán a 2-es
szám helyett egy másik, tetszőleges a> 0 számot veszünk.
Megoldás: Konkrét esetekben elvégezve a számolásokat, a kijelzett
számértékeket figyelve annyit vehetünk észre, hogy bizonyos lépésszám
után megint az 1-es jelenik meg, és az 1-et hamarabb, illetve később
érjük el, vagyis a „konvergencia gyorsasága” is változik. Minden más
eredmény és bizonyítás megegyezik az előbbiekben bemutatottakkal.
Összegezve, végül is bizonyítottuk, hogy, minden a> 0 szám esetén
−
n gyök
lim ... a = 1vagyis ... a =1, ahol a gyökjelek száma végtelen
n→
nagy szám.
3. Kísérlet: Egy zsebszámológépbe írjuk be a 2-est, és vonjunk belőle
gyököt. Az eredményt szorozzuk meg 2-vel, és ismét vonjunk gyököt.
Ezt ismételjük meg mindaddig, amíg a kijelzőn ugyanazt a számot nem
kapjuk. Mit mondhatunk az így értelmezett sorozat monotonitásáról,
korlátosságáról és határértékéről? Hogyan magyarázzuk meg a látottakat?
Megoldás: Egy zsebszámológép kijelzőjén amely 8 karaktert tud
megjeleníteni, rendre ezt láthatjuk: 1.4141356; 1.6817928; 1.8340080;
1,9152065; 1.9571441; 1.9784560; 1.9891988; 1.9945921; 1.9972942;
1.9986466; 1.9993232; 1.9996615; 1.9998307; 1.9999153; 1.9999576;
1.9999758; 1.9999884; 1.9999947; 1.9999973; 1.9999986; 1.9999993;
1.9999996; 1.9999998; 1.9999999; 2; 2; 2;…. Leolvashatók a következő
tulajdonságok:
1) Az így keletkezett sorozat szigorúan növekvő. Ezt bizonyítani is
1
fogjuk! A szóban forgó sorozat tagjai rendre: a = 1 2 = 2 ,
2

124