Page 118 - vol2
P. 118
Legyen P a sík pontjainak a halmaza, xOy pedig egy derékszögű
(vagy ferdeszögű) koordináta rendszer.
Az első struktúra vizsgálata:
A sík tetszőleges M pontjai jellemezhetők egy OM helyzetvektorral.
Továbbá legyen V = OM M az O kezdőpontú OM
0
helyzetvektoroknak a halmaza. Ha i és j a koordinátarendszerben a
bázisvektorok, továbbá A az M pontnak az Ox tengelyre eső merőleges
vetülete, B pedig az Oy tengelyre eső merőleges vetülete, akkor a
paralelogrammaszabály alapján OM = OA+OB , és mivel OA=x i és
OB =y j , ezért OM = x i y j , ahol az x, y számokat az M pont
+
koordinátáinak hívjuk. Vezessük be a + :V V → V belső műveletet, a
0
0
0
vektorok összeadási műveletét úgy, hogy a = x i + y j és b = ' x i y j
+
'
esetén ( x i y j + )+ ( 'x i + ' y j )= (x x+ ') i + (y + y ') j (1). Könnyen
ellenőrizhető, hogy ez a művelet asszociatív, van semleges eleme, van
)
inverz elem, és kommutatív, tehát ( ,V + úgynevezett Ábel-féle csoport.
0
Ismert, hogy az ( , ,R + ) struktúra kommutatív test, úgynevezett valós
számtest. Vezessük most be az : R V → V külső műveletet a szorzást,
0 0
ami a skalárral való szorzást jelenti, és így értelmezzük:
+
(x i + ) j = x i y j bármely R esetén (2). Az így értelmezett
y
(1) és (2) műveletek teljesítik a következő axiómákat is: bármely , R
+
=
=
és u v V 0 esetén 1) ( + )u u ; 2) (u v ) u ;
+
+
u
,
v
=
3) ( u ) ( )u ; 4) 1 u = u .
Ezek alapján azt mondjuk, hogy a V halmaz az R feletti, úgymond valós
0
vektortér.
A második struktúra vizsgálata:
A sík tetszőleges M pontjai jellemezhetők az M ponthoz rendelt z komplex
számmal, amit az M pont affixumának mondunk. Továbbá legyen
C = z z = x iy ,i = − 1, , y R a komplex számok halmaza, algebrai
+
2
x
alakban írva. Vezessük be a + :C C → C belső műveletet, a komplex
számok összeadását, a következőképpen: ( x iy+ )+ ( 'x iy+ ')=
+
+
+
')
(x x ') i y y (1). Ezúttal is könnyen ellenőrizhető, hogy a művelet
(
asszociatív, van semleges eleme, van inverz elem, és kommutatív, tehát
118
