Page 127 - vol2

+
igaz, így határértékre térve az a n+ 1 = 2 a rekurzióban, az
n
x = 2 x  x − − 2 0 egyenlet adódik, ahonnan csak az x= 2 felel
=
+
2
x
)
meg, mert az x= -1   2,2 . Tehát valóban lima = ami azt jelenti,

2
n
−
n gyök n→
hogy lim 2 + 2 + 2 ...+ 2 = 2 vagy másképpen
+
n→
+
2+ 2+ 2 ...+ 2 ... = , ahol a gyökjelek száma végtelen nagy szám.
+
2
6. Kísérlet:
Az előző feladatban ha a 2-es szám helyett 6-ot veszünk. Mit
mondhatunk az így kapott sorozat monotonitásáról, korlátosságáról és
határértékéről? Hogyan magyarázzuk meg a látottakat?
+
Megoldás: Az így kapott sorozat a = 6 , a = 6 a = 6 + 6 ,
1
2
1
+
a = 6 a = 6 + 6 + 6 , és általában
2
3
−
(n + 1) gyök
+
+
0
a n+ 1 = 6 a = 6+ 6+ 6 ...+ 6 minden n  esetén. Az
n
előbbiekhez hasonlóan igazoljuk, hogy a sorozat szigorúan növekvő.
Ezért a legjobb alsó korlát az első tag, vagyis a  a 1 = 6, n  1 esetén.

n
A legjobb felső korlátot ezúttal is leolvashatjuk a kijelzőről, és ez éppen
3. Ezt könnyen bizonyíthatjuk is a matematikai indukcióval, ugyanis
3
a 1 = 6  , és ha feltételezzük, hogy a n <3, akkor
+
+
3
a n+ 1 = 6 a  6 3 = . Tehát a   6,3 ) n  1 esetén. Mivel az

n
n
( ) 1 sorozat szigorúan növekvő és korlátos, ezért a Weierstrasse tétele
a
n n
alapján a sorozat konvergens, vagyis van határértéke. A zsebszámológép
kijelzőjén ezt úgy érzékeljük, hogy bizonyos számú műveletvégzés után
a kijelzőn a 2 látható. Ez tehát azt jelenti, hogy lima = , amit az
3
n→ n
2
+
=
előzőek mintájára az x = 6 x  x − − 6 0 pozitív gyöke
x
szolgáltat, és ez éppen az x= 3.
7. Kísérlet:
Az előző feladatban ha a 6-os szám helyett 12-öt veszünk. Mit
mondhatunk az így kapott sorozat monotonitásáról, korlátosságáról és
határértékéről? Hogyan magyarázzuk meg a látottakat?
127