Page 128 - vol2

+
Megoldás: Az így kapott sorozat a = 12 , a = 12 a = 12 + 12 ,
1
2
1
+
a = 12 a = 12 + 12 + 12 , és általában
2
3
−
(n + 1) gyök
+
+
a n+ 1 = 12 a = 12+ 12+ 12 ...+ 12  n  0 esetén. Az
n
előbbiekhez hasonlóan igazoljuk, hogy a sorozat szigorúan növekvő.

Ezért a legjobb alsó korlát az első tag, vagyis a  a 1 = 12, n  1
n
esetén. A legjobb felső korlátot ezúttal is leolvashatjuk a kijelzőről, és ez
éppen 4. Ezt könnyen bizonyíthatjuk is a matematikai indukcióval,
ugyanis a 1 = 12  , és ha feltételezzük, hogy a n <4 , akkor
4
+
+
4
a n+ 1 = 12 a  12 4 = . Tehát a    12,4 n )  1 esetén. Mivel
n
n
az ( ) sorozat szigorúan növekvő és korlátos, ezért a Weierstrasse
a
n n 1
tétele alapján a sorozat konvergens, vagyis van határértéke. A
zsebszámológép kijelzőjén ezt úgy érzékeljük, hogy bizonyos számú
műveletvégzés után a kijelzőn a 4 látható. Ez tehát azt jelenti, hogy
=
+
2
lima = , amit az előzőek mintájára az x = 12 x  x − − 12 0
4
x
n→ n
pozitív gyöke szolgáltat, és ez éppen az a= 4.
1. Megjegyzés:
Bizonyára felmerül az Olvasóban a kérdés, hogy a 2, 6, 12 számok
helyett milyen más számot válasszunk úgy, hogy lima = természetes
k
n→ n
szám legyen? Nos, erre a válasz nem is olyan nehéz, hiszen az előbbi
sorozatok az a = a , a n+ 1 = a a , a> 0 rekurzióval voltak
+
n
1
értelmezve, és ha ebben rátérünk a határértékre, akkor a
k = a k  a k − = (k − 1)k adódik. Tehát, az a = a és
+
=
2
k
1
a 1 2; 2 3; 3 4;...;(k   − 1) ;...  k N * \   1 választással a szóban forgó
k

sorozat határértéke rendre 2, 3, 4, …, k, … lesz. Természetesen, hogy az
előzőekhez hasonló kísérletek ezen esetekben is elvégezhetők.
8. Kísérlet:
Egy zsebszámológépbe írjuk be a 1-est, és vonjunk belőle gyököt. Az
eredményhez adjunk hozzá 1-et, és ismét vonjunk gyököt. Ezt ismételjük
meg mindaddig, amíg a kijelzőn ugyanazt a számot nem kapjuk. Mit
mondhatunk az így értelmezett sorozat monotonitásáról, korlátosságáról
és határértékéről? Hogyan magyarázzuk meg a látottakat?
128