Page 119 - vol2

)
( ,C + úgynevezett Ábel-féle csoport. Ismert, hogy az ( , ,R + )  struktúra
kommutatív test, úgynevezett valós számtest. Vezessük most be az
: R C → C külső műveletet a szorzást, ami a skalárral való szorzást


=
+
jelenti, és így értelmezzük: (x iy + )  x i y bármely   R esetén (2).
Az így értelmezett (1) és (2) műveletek teljesítik a következő axiómákat is:
=
+
bármely  ,  R és z,z ,z  esetén 1) (  )z  z  ;
+
C
z
2
1
=
2) (z 1 + z 2 )  +  z ; 3) ( z  ) ( )z ; 4) 1 z = z .
=
z
1
2
Ezek alapján azt mondjuk, hogy a C halmaz az R feletti, úgymond valós
vektortér.
A harmadik struktúra vizsgálata:
A sík tetszőleges M pontjai jellemezhetők egy (x,y) rendezett valós
számpárral, amit az M pont koordinátáinak nevezünk. Továbbá legyen
R = R R = ( , )x y x R ,y R  az euklideszi valós számsík. Vezessük


2
2
2
2
be a + :R  R → R belső műveletet, a következőképpen:
+
+
+
=
y
')
',
x
y
x
( , ) ( ', ') (x x y y (1). Ezúttal is könnyen ellenőrizhető, hogy
a művelet asszociatív, van semleges eleme, van inverz elem, és
)
2
kommutatív, tehát (R ,+ úgynevezett Ábel-féle csoport. Ismert, hogy az
( , ,R + )  struktúra kommutatív test, úgynevezett valós számtest. Vezessük
most be az : R R 2 → R külső műveletet a szorzást, ami a skalárral való
2
szorzást jelenti, és így értelmezzük:  ( , ) ( x , y bármely   R
=


y
x
)
esetén (2). Az így értelmezett (1) és (2) műveletek teljesítik a következő
2
axiómákat is: bármely ,    R és r,r ,r  R esetén
1
2
1) ( + )r  r  ; 2)  (r + r 2 )  r  ; 3)  ( r ) ( )r ; 4)
=
+

=
=
+
r
r
1
2
1
1 r =  r .
2
Ezek alapján azt mondjuk, hogy az R halmaz az R feletti,
úgymond valós vektortér.
Tehát beláttuk, hogy mind a három halmaz, R feletti vektortér.
Vajon milyen más közös jellemvonásuk van, hogy a mintapélda megoldása
a három halmazon annyira hasonló?
2
Tekintsük a következő függvényeket: : f V → R és
0
=

2
+

+
( f x i y j ) (x,y) illetve g R → C és g (( , )) = x iy . Könnyen
y
:
x
belátható, hogy ezek a függvények úgynevezett lineáris leképezések,

+

ugyanis f (u v = f (u) + f ( ) és f ( u)  = f (u) minden u ,v V
)
v
0
+
esetén, illetve f (r r = f (r )+ f (r ) és ( f  ) r =  f (r) minden
)
1
2
1
2
119