Page 122 - vol2

14. Rekurziós sorozatok és a zsebszámológép

Gondolná-e valaki, hogy napjainkban a zsebszámológép (vagy a
mobiltelefonok számológépe) a közönséges számolásokon kívül még
másra is használható lenne? Ezt a kételyt fogjuk eloszlatni mert
megmutatjuk, hogy akár sorozatok konvergenciájának tanulmányozására,
vagy éppen sorozat határértékének a megsejtésére is jól használható sőt
ebben egyedi szerepet is kap, hiszen sejtéseket alakíttat ki, és nagyon jól
szemléltet!
Az alábbiakban bemutatásra kerülő témát sikeresen kipróbáltam a
matematika óráimon, és bárkinek csak javasolni tudom, hogy próbálja ki,
mert megéri!
A kísérleteim célja az volt, hogy a tanulókkal tanulmányozzuk
egyes rekurziós képletekkel értelmezett sorozatok konvergenciáját.
Előzőleg a tanulók már elsajátították a főbb szükséges fogalmakat és
ismereteket, továbbá a sorozatok monotonitása és korlátossága kapcsán
tanultakat, valamint elkezdtünk sorozat határértékeket számolni.
Mondhatni, hogy ezen a téren még gyerekcipőben jártunk.
Véleményem szerint az egész 11. osztályos matematikai analízis,
és különösképpen a sorozatok konvergenciája és a határértékük
kiszámolása azért érthető meg és sajátítható el nagyon nehezen, mert
hiányzik a kellően áttekinthető konkrét modell. Pontosabban, a
végtelennel kapcsolatos jelenségeket nem igazán lehet modellezni. Nincs
erre semmi intuitív alap, sem támasz! Csupán értelmezések, fogalmak,
előírt szabályok, tételek, stb. Ezért tűnődtem azon, hogyan is lehetne a
témakört úgymond „cselekedtetve” megismertetni? És ekkor eszembe
jutott, hogy a kézi számológéppel eléggé gyorsan olyan fogalmakat
tudunk kezelni, mint monotonitás, korlátosság, és végső soron a
konvergencia fogalma. Ezért úgy döntöttem, hogy kipróbálom mindazt,
amit az alábbiakban közreadok. És beismerem, nem bántam meg, mert a
visszajelzések szerint, a tanulók sokkal jobban megértették a témakört,
mintha csak krétával a fekete táblára írtam volna a leckét. Na persze, az
alábbiakban bemutatott bizonyításokat részletesen a táblán bemutatva
elemeztük, de csak miután elvégeztük a következő kísérleteket, azután
érveltünk és bizonyítottunk .
1. Kísérlet: Egy zsebszámológépbe írjuk be a 2-est, és vonjunk belőle
gyököt. Az eredményből ismét vonjunk gyököt. Ezt ismételjük meg
mindaddig, amíg a kijelzőn ugyanazt a számot nem kapjuk. Mit

122