Page 120 - vol2

2
r,r r  R esetén. Sőt mi több igazolgató, hogy f és g bijektív függvények,
1 2
2
2
így hát ezek úgynevezett izomorfizmusok a (V ,+) és ( R ,+) illetve ( R ,+)
0
és (C,+) kétdimenziós vektorterek között. Ezek alapján tehát a három
2
vektortér egymással izomorf, vagyis (V ,+) ( R ,+) (C,+).
0
Vajon mit is jelent ez, a gyakorlatban? Mielőtt direkt válaszolnánk,
világítsunk rá a következőkre:
Az algebra egyik fontos feladata, az izomorf invariánsok vizsgálata. Ha
algebrai struktúrák valamely halmazát (osztályát) tekintjük, akkor ebben a
halmazban az izomorfizmus nyilván relációt létesít , amely :
- Reflexív: mivel az identikus leképezés izomorfizmus
- Szimmetrikus: hiszen izomorf leképezések létezik inverze, és az is
izomorfizmus.
- Tranzitív: mert izomorfizmusok szorzata is izomorfizmus.
Ezek szerint a struktúrák tekintett halmazán az izomorfizmus egy
ekvivalencia relációt határoz meg s ezt izomorfiának nevezzük.
Az izomorfia - mint ekvivalencia reláció – a struktúrák halmazának egy
osztályát határozza meg. Egy ekvivalencia osztályba az egymással izomorf
struktúrák tartoznak. Ezek az úgynevezett izomorfia osztályok
Absztrakt algebrai szempontból az egy izomorfia osztályba tartozó algebrai
struktúrákat nem tekintjük különbözőknek. Ez az IZOMORFIAELV,
amelyet először E. Seinitz mondott ki, testelméleti vizsgálatai során 1912-
ben. Absztrakt algebrai struktúrának nevezünk egy izomorfia osztályt. A
konkrét algebrai struktúra pedig egy izomorfia osztálynak valamely
reprezentánsa. Ilyen esetben ugyanazon osztály két reprezentánsa ugyanazt
jelenti, fejezi ki csupán „nyelvi adaptációra”, átírásra van szükség.
Esetünkben tehát, ha egy vektoriális összefüggésben pontok
helyzetvektorain kívül csak összeadás, kivonás és skalárral való szorzás
szerepel, akkor az formálisan átírható komplex számokra, vagy
koordinátákra. Tehát a mintafeladat három megoldása csak nyelvileg
különböznek egymástól, csak az elnevezésük más: az egyik
vektorgeometria, a másik komplex számos, a harmadik pedig analitikus
geometriai megoldás. Az analógia szempontjából az izomorfiákat Pólya
György tisztázott analógiáknak nevezi. Tehát tisztázott analógia áll fenn a
vektoriális, az affixumos és a koordinátákkal való megoldások között, és
ennek oka, éppen a három vektortér izomorfizmusából adódik.
Egyébként az előbbiekben bizonyított három vektortér izomorfiáját
illetően, bizonyítható a következő, általánosabb érvényű eredmény is:

120