Page 125 - vol2

1 1 1 1 1
+
+
+
a = 2a = 2 2 = 2 2 4 , a = 2a = 2 2 2 = 2 2 4 8 , és általában
2
1
2
3
−
(n + 1) gyök 1 1 1 ...+ 1 1− 1
+ + +
a n+ 1 = 2a = 2 2 2... 2 = 2 2 4 8 2 n + 1 = 2 2 n + 1 minden n  1
n
esetén. Könnyen látható, hogy az 2 = a  2a = 2 2 = a , és az
2
1
1
2(a − a )
a − a = 2a − 2a = n n− 1 összefüggések alapján a
+
−
1
n
n
n
1
n
2a + 2a n− 1
n
matematikai indukcióval bizonyíthatjuk, hogy a sorozat valóban
szigorúan növekvő.
2) Mivel a sorozat szigorúan növekvő ezért van egy legjobb alsó korlátja,

és így a  a 1 = 2, n  esetén. A számológép kijelzései alapján az a
1
n

sejtésünk, hogy a legjobb alsó felső korlát a 2, vagyis a n <2, n  1
esetén. Ezt könnyen bizonyíthatjuk a matematikai indukcióval, ugyanis
2
a 1 = 2  , és ha feltételezzük, hogy a n <2 , akkor

2
a n+ 1 = 2a  2 2 = . Tehát a    2,2 n )  1 esetén.
n
n
3) Mivel az ( ) sorozat szigorúan növekvő és korlátos, ezért a
a
n n 1
Weierstrasse tétele alapján a sorozat konvergens, vagyis van határértéke.
A zsebszámológép kijelzőjén ezt úgy érzékeljük, hogy bizonyos számú
műveletvégzés után a kijelzőn a 2 látható. Ez tehát azt jelenti, hogy
1
1− n
2
lima = , ami valóban igaz, mert lim2 2 = 2 nyilvánvaló. Egyúttal az
n→ n n→
az ismert tétel is szemléltetésre került, miszerint egy monoton növekvő
sorozat legjobb felső korlátja éppen a sorozat határértéke, esetünkben
éppen a 2.
4. Kísérlet: Ugyanaz a feladat mint az előző kísérletben, csupán a 2-es
szám helyett egy másik, tetszőleges a> 0 számot veszünk.
Megoldás: Konkrét esetekben elvégezve a számolásokat, a kijelzett
számértékeket figyelve annyit vehetünk észre, hogy bizonyos lépésszám
után éppen az a szám jelenik meg a kijelzőn. Minden más eredmény és
bizonyítás megegyezik az előbbiekben bemutatottakkal, csak a
lima = változik az a 1 = a szerint. Összegezve, végül is
x
n→ n
n gyök
−
bizonyítottuk, hogy, minden a> 0 szám esetén lim a a ...a a = a
n→
a
vagyis a a ...a a = , ahol a gyökjelek száma végtelen nagy szám.
125