Page 126 - vol2

5. Kísérlet:
Egy zsebszámológépbe írjuk be a 2-est, és vonjunk belőle gyököt. Az
eredményhez adjunk hozzá 2-öt, és ismét vonjunk gyököt. Ezt ismételjük
meg mindaddig, amíg a kijelzőn ugyanazt a számot nem kapjuk. Mit
mondhatunk az így értelmezett sorozat monotonitásáról, korlátosságáról
és határértékéről? Hogyan magyarázzuk meg a látottakat?
Megoldás: Egy zsebszámológép kijelzőjén amely 8 karaktert tud
megjeleníteni, rendre ezt láthatjuk: 1.414135; 1.8477590; 1.9615705;
1.9903694; 1.9975909; 1.9993976; 1.9998494; 1.9999623; 1.9999905;
1.9999976; 1.9999994; 1.9999998; 1.9999999; 2; 2;2;….
1) Az így keletkezett sorozat szigorúan növekvő. Ezt bizonyítani is
fogjuk! A szóban forgó sorozat tagjai rendre: a = 2 ,
1

a = 2 a = 2 + 2 , a = 2 a = 2 + 2 + 2 , és általában
+
+
2
1
3
2
−
(n + 1) gyök
+
+
a n+ 1 = 2 a = 2+ 2+ 2 ...+ 2 minden n  1 esetén.
n
Látható, hogy ezúttal csak rekurziós összefüggést kaptunk, nem lehet
képletesen felírni az általános tagot, mint az előbbi esetekben. Könnyen
látható, hogy az a = 2  2+ 2 = a , és az
2
1
a − a
+
+
a − a = 2 a − 2 a = n n− 1 összefüggések
−
+
1
n
n
1
n
n
+
2 a + 2 a n− 1
+
n
alapján a matematikai indukcióval bizonyíthatjuk, hogy a sorozat valóban
szigorúan növekvő.
2) Mivel a sorozat szigorúan növekvő ezért van egy legjobb alsó korlátja,

és így a  a 1 = 2, n  esetén. A számológép kijelzései alapján az a
1
n

sejtésünk, hogy a legjobb alsó felső korlát a 2, vagyis a n <2, n  1
esetén. Ezt könnyen bizonyíthatjuk a matematikai indukcióval, ugyanis
2
a 1 = 2  , és ha feltételezzük, hogy a n <2 , akkor
+
+
2
a n+ 1 = 2 a  2 2 = . Tehát a   2,2 ) n  1 esetén.

n
n
3) Mivel az ( ) sorozat szigorúan növekvő és korlátos, ezért a
a
n n 1
Weierstrasse tétele alapján a sorozat konvergens, vagyis van határértéke.
A zsebszámológép kijelzőjén ezt úgy érzékeljük, hogy bizonyos számú
műveletvégzés után a kijelzőn a 2 látható. Ez tehát azt jelenti, hogy
x
2
lima = , ami valóban igaz, mert ha lima = , akkor lima = x is
n→ n n→ n n→ n− 1
126