Page 117 - vol2

,
(2) Az ABD háromszögben (G x y G ) súlypont, ezért
G
x + x + x y + y + y
x = A B D és y = A B D
G G
3 3
(3) A BCD háromszögben I beleírt kör középpontja (szögfelezők
metszéspontja) és BC=2, CD=4, DB=3, ezért


BC x + CD x + BD x 2x + 4x + 3x

x = D B C = D B C =
I
+
+
BC + CD + BD 2 4 3
2x + 4x + 3x 4 3 2
= D B C = x + x + x .
+
+
2 4 3 9 B 9 C 9 D
4 3 2
Hasonlóan y = y + y + y .
I
9 B 9 C 9 D
(4) Az M pont a BC szakaszon a C csúcshoz közelebb eső harmadoló
x + 2x 1 2 1 2
pont, ezért x = B C = x + x és y = y + y
M
+
1 2 3 B 3 C M 3 B 3 C
(5) Ahhoz, hogy G, I, M pontok kollineárisak legyenek elegendő, ha
létezik olyan  valós szám amelyre
x +  x 1  1 
x = G 1  M = 1  x +  + 1 x illetve y = I 1  + y + G  + 1 y
I
M
G
M
+
+
,
,
(6) Ha az (1) és (2) alapján az G (x y G ) -be beírjuk az A (x y A )
A
G
koordinátáit, akkor azt kapjuk, hogy
2 2 1 2 2 1
x = x + x − x illetve y = y + y − y .
G
3 B 3 D 3 C G 3 B 3 D 3 C
)
(7) Ha most a (6)-ban a G (x y G ) , ( ,I x y , M (x M , y M ) helyére
,
G
I
I
beírjuk a (3), (4), (6) eredménye alapján kifejezett koordinátákat, rövid
=
számolásokkal adódik, hogy ( − 2)(x − 3x + 2 ) 0 illetve
x
C
D
B
( − 2)(y − 3y + 2y D ) 0 ahonnan  = . Tehát létezik a kért 
=
2
B
C
valós szám. Ez tehát még azt is elárulja, hogy amellett, hogy G, I, M
kollineárisak, még a GI:IM=2:1 arány is fennáll.
Belátható, hogy a három megoldás nagyon nagy mértékben
hasonlít egymáshoz. Természetesen merül fel a kérdés, hogy ennek mi
lehet az oka? Vegyük észre, hogy a három megoldás során rendre a
vektorok halmazán, a komplex számok halmazán, majd az R×R valós
számsíkban dolgoztunk. Vizsgáljuk meg részletesebben ezt a három
halmazt, úgymond struktúrát!
117