Page 7 - vol2

1. Izoperimetrikus problémák

Ebben a paragrafusban szélsőértékek számolásával foglalkozunk, de
csupán csak elemi módszereket használunk. Ez azt jelenti, hogy teljesen
mellőzzük a matematikai analízis eszközeit. Ez egyes feladatok esetén nem is
használható, más esetben inkább az elemi módszerek szépségeire,
sokszínűségére és változatosságára fektetjük a hangsúlyt.
A szélsőérték fogalma gyűjtő fogalom, a legnagyobb (maximum) és a
legkisebb (minimum) értékek közös megnevezésére használják. Ezek
értelmezése a következő:
1. Értelmezés: Az f D  : R → R függvénynek M = f ( )globális
a
x
maximuma (egyszerűen maximuma), ha f ( )  M minden x D
esetén.
2. Értelmezés: Az : f D  R → R függvénynek m = f (b) globális

x
minimuma (egyszerűen minimuma), ha f ( ) m minden x D
esetén.
Amennyiben az egyenlőtlenségek a D halmaznak csak egy részhalmazán
teljesülnek, a szélsőértékek csak lokáli vagy helyi szélsőértékek. Egy
függvénynek lehet több lokális minimuma vagy maximuma is, és a lokális
maximum kisebb is lehet mint a lokális minimum. A lokális maximum közül a
legnagyobb a függvény globális maximuma, a lokális minimumok közül a
legkisebb a függvény globális minimuma.
A szélsőérték problémák közül egyik legrégibb problémák az
úgynevezett izoperimetrikus problémák. Az „izoperimetrikus” szó az
izo = állandó, periméter = kerület szóösszetételből ered. A probléma a következő:
A síkbeli izoperimetrikus tétel:
a) Az adott kerületű síkalakzatok közül a kör a legnagyobb területű.
b) Az adott területű síkalakzatok közül a kör a legkisebb kerületű.
Euklidész aki i.e. 300 körül élt, már ismerte a téglalapok izoperimetrikus
problémájának a megoldását, amely valószínűleg már előtte is ismert volt.
Arkhimédesz (i.e. 287-212), ismerte az izoperimetrikus tétel állítását.
Időszámításunk kezdete táján a geometriai szélsőértékek tanulmányozása már
meglehetősen fejlett volt. Tudomásunk van arról, hogy Zenodórosz, aki kb. i.e.
200 és i.sz. 90 között élt, írt egy „Izoperimetrikus alakzatok” című könyvet, ennek
sajnos egyetlen példánya sem maradt hátra, de az ő eredményeit újra ismertette
és bebizonyította az alexandriai Papposz i.sz. 300 körül.
A monda szerint az izoperimetrikus probléma eredete a következő:
Dido, Tyrosz királyának lánya volt. Nagybátyjához, Acerbászhoz ment feleségül,

7