Page 109 - vol2

+
p 1 ln a + p 2 ln a + ... p n ln a n  ln  p a + p a + ...p a  n n és innen éppen
1 1
2
1
2 2
p + p + ... p n   p + p + ... p n  
+
+
2
1
2
1
a (2) egyenlőtlenséglánc középső egyenlőtlenségét kapjuk. Ellenben ha
1
ebben az egyenlőtlenségben az a értékeket -re cseréljük, akkor
i
a i
 p 1 + p 2 + ...+ p  n
+
p ln a + p ln a + ... p ln a  a a a 
− 1 1 2 2 n n  ln  1 2 n  ahonnan
p + p + ... p  p + p + ... p  +
+
2
1
 n 1 2 n 
 
megkapjuk a (2) egyenlőtlenséglánc baloldali egyenlőtlenségét. A (2)
2
jobboldali egyenlőtlenségének a bizonyítása végett az f ( ) = x
x
segédfüggvényt vesszük, ez ellenben konvex, így a (3)-as Jensen
egyenlőtlenség éppen a fordított irányú. Ezzel a választással a következő
p a + p a + ... p a 2  p a + p a + ...p a  2
+
2
2
egyenlőtlenség adódik: 1 1 2 2 n n   1 1 2 2 n n  ,
+
+
p + p + ... p n  p + p + ... p n 
2
1
2
1
ami éppen a (3) egyenlőtlenséglánc jobboldali egyenlőtlensége.
Mint az (1) mint a (2) egyenlőtlenségláncok láttán természetesen
merül fel az a kérdés, hogy léteznek-e még olyan középarányosok,
amelyek beleillenek az (1) illetve (2) középarányos egyenlőtlenség
láncba. Erre a kérdésre a továbbiakban válaszolunk, amikor folytonos és
monoton függvény segítségével általánosítjuk a középarányos
egyenlőtlenségeket.
Mindezek előtt ellenben bizonyítunk néhány állítást, amelyekre
szükségünk lesz a végső eredményeink bizonyításánál.
2. állítás: Legyen A pozitív valós szám minden i = 1,n esetén,
i
ekkor:
1
A + A + ... A n  ( A  A  ... A n A ) 1 A A+ 2 ... A+ + n (4)
+

2 A
1 A
2
1
n 1 2 n
Bizonyítás: Ha a (2) egyenlőtlenség baloldali egyenlőtlenségében az
a = i p = i A választást tesszük minden i = 1,n esetén, éppen a
i
bizonyítandó (4)-as egyenlőtlenséget kapjuk.
3. állítás: Legyen a pozitív valós szám minden i = 1,n esetén,
i
akkor
109