Page 105 - vol2

1 1 x + y
Bizonyítás: Legyen = x és = y , ekkor x = n n és
n
n
g n h n n+ 1 2
x
y
y n+ 1 = x y . De az 1. Tétel értelmében az ( ) 1 és ( ) 1 sorozatok
n n
n
n
n n
konvergensek, és ugyanaz a határértékük, tehát ez igaz a ( ) 1 és ( ) 1
g
h
n n
n n
sorozatokra is, amelyeknek a közös határértékét GH ( , ) -nal jelöljük.
y
x
3) A számtani-harmonikus közép
Tekintsük a következő képen értelmezett ( ) 0 és ( ) 0 sorozatokat:
a
h
n n
n n
a + h 2a h
a = , h = y , a = n n , h = n n bármely n  1 esetén.
x
1
1
1
n+
2 n+ 1 a + h n
n
3. Tétel: Az ( ) 0 és ( ) 0 sorozatok konvergensek, és a határértékez az
h
a
n n
n n
, x y számok (kezdetértékek) számtani-harmonikus közepének nevezzük, és
x
ah ( , ) = x y xy = g ( , ) -nal jelöljük, ami tulajdonképpen a mértani közép.
y
a + h a + a
Bizonyítás: Nyilvánvaló, hogy a  h ezért a = n n  n n = a
n n n+ 1 n
2 2
tehát az ( ) 0 sorozat monoton csökkenő, és alulról korlátos, ezért
a
n n
a + h
a + h k 2 k
konvergens. Továbbá a h = k k = = a h , k 
k k a + h k 1 + 1 k+ 1 k+ 1
k
a h a k h k
k
2
xy
tehát a h = a h = xy így h = és mivel ( ) konvergens, ezért
a
n n
0 0
n
a n n 0
n
( ) 0 is konvergens. Ha lima = a , lim h = akkor az első rekurzió
h
h
n
n
n n
n→
n→
+
a h xy xy
alapján a =  h = a , továbbá akkor a = lim h = lim = ahonnan
n
2 n→ n→ a n a
a = xy , tehát valóban ah ( , ) = x y xy = g ( , ) .
y
x
Ezáltal tehát tovább bővítettük az (1)-es egyenlőtlenség láncot, mégpedig így:

105