Page 106 - vol2




=
y
x
x
y
x
y
y
x
y
x
y
x
m h ( , )  gh ( , )  g ( , ) ah ( , ) ag ( , ) a ( , )  M (2)
A továbbiakban általánosítani fogjuk az előző eredményeket. Mivel a
hatványközepek magukba foglalják az összes előző középarányost, ezért a
hatványközép által általánosítunk. Mint ismeretes, a hatványközepet a
 x x 1
  a + b  x x  0

b
H x ( , ) =    2   összefüggéssel értelmezzük, minden valós x
a

  ab x = 0
  3   2
 2   2  2ab
esetén. Továbbá M − =   , M − 2 =   , H = ,
+
 3 1 + 1   1 + 1  − 1 a b
   
 3 a 3 b   a b 
 a + b  2  3 a + 3 b  3 a b
+
H = ab , H =  1    , H =  1    , H 1 ( , ) = ,
b
a
0
2  2  3  2  2
a + b 2 a + b 3
3
2
a
b
a
H ( , ) = , H ( , ) = 3 , stb.
b
2 3
2 2
1
 a + b  x x
x
Az előző paragrafusban igazoltuk, hogy az ( )f x =   függvény
 2 
monoton növekvő. Erre nagy szükségünk lesz a monotonításnál.
4) A (p,q)-hatványközép
Tekintsük a következő képen értelmezett ( ) 0 és ( ) 0 sorozatokat:
x
y
n n
n n
1 1
 x + y  p p  x + y  q q
q
p
x = , y = y , x n+ 1 =  n n  , y n+ 1 =  n n  bármely n  1
x
1
1
 2   2 
esetén, ahol ,p q és p  q  0 vagy 0  p  q rögzitettek.
4. Tétel: Az ( ) 0 és ( ) 0 sorozatok konvergensek, és a határértékez az
x
y
n n
n n
, x y számok (kezdetértékek) (p,q)-hatványközepének nevezzük, és H , p q ( , )
y
x
-nal jelöljük.

106