Page 107 - vol2

1
 a + b  x x
x
Bizonyítás: Legyen előbb p  q  0 . Az f ( ) =   monoton
x
 2 
1 1
 x + p y  p  x + q y  q
p
q
növekvősége végett x n + 1 =  n n    n n  = y n + 1 vagyis x  y
n
n
 2   2 
1 1
 x + p y  p  x + p x  p
p
p
x
ezért x =  n n    n n  = x vagyis az ( ) sorozat
n+ 1 n n n 0
 2   2 
monoton csökkenő. De mivel min( , )x y  x ezért alulról korlátos, így hát
0
konvergens, és létezik határértéke. Ha lim x = a ,lim y = b akkor az első
n→ n n→ n
1
 a + b  p p
p
p
p
rekurzió alapján a =   vagyis 2a = a + b  a = b tehát
p
p
p
 2 
a = . b Ezt a közös határértéket jelöljük H , p q ( , ) -nal, és az x,y számok
x
y
)
(p,q)-hatványközepének nevezzük, és ez bárhol elhelyezkedhet az ( ,m M
intervallumban.
Teljesen hasonló a helyzet, ha 0  p  q . Ezzel az általánosítást
befejeztük. Végezetül megjegyezzük, hogy ha a p, q értékeket tetszés szerint
változtatjuk, akkor különféle új vegyes hatványközepet kapunk.
x + y x + y 2
2
x
Például az x = , y = y , x = n n , y = n n módon
1 1 n+ 1 n+ 1
2 2
értelmezzük a számtani-négyzetes közepet, vagy x = , y = y ,
x
1 1
  2
 
x n+ 1 = x y , y n+ 1 =   1 2 1   módon értelmezzük a számtani-
n
n
 + 
 x n y n 
másodrendű-reciprok közepet, és így tovább.
Befejezésül megjegyezzük, hogy az általánosítási lehetőségeink
messziről sem értek véget, ugyanis az előző paragrafusban bemutatott bármely
két középarányos társításával, újabb és újabb összetett középarányost kapunk.

107