Page 112 - vol2

1 1 1 1


 a + b   2  a + b    a + b   a b  a + b  k




k
k
+

a         a b         b
 2  1 + 1  2   2  2  2 
a b

A 2. Tétel egyenlőtlenséglánca is tovább általánosítható súlyozott
középarányosok esetére.
3. Tétel: Legyen a p pozitív valós szám minden i = 1,n, akkor
,
i
i
értelmezzük az G p : R → R függvényt a következőképpen:
1 1
... p a 
 p a + p a + + t t  n i p  n
t
t
i= 
G p ( ) =  1 1 2 2 n n  ha t  és G p (0) =  a i  1 i p
t
0
 p + 1 p + 2 ...p n   i= 1 
Ekkor az G függvény folytonos, és monoton növekvő az R-en.
p
A tétel bizonyítása teljesen hasonló az 1. Tétel bizonyításával,
ezért az elvégzését az érdeklődő Olvasóra bízzuk.
n
 p i n n 1
i= 
4. Tétel: Legyen ,a p  és H ( , ) = i= n 1 , ( , )G a p =   a i i p   1 i p ,
p
0
a
i
i
 p i  i= 1 
i= 1 a i
1
n
i i 
 a p i   n p a t  t
i
A ( , ) = i= 1 n , M t ( , )  a p = i= 1 n  , m = min a , M = maxa ,
a
p
i
i
 p i   p i    i= 1,n i= 1,n
i= 1  i= 1 
−
  (− , 1) ,   ( 1,0) ,   (0,1) és
−
k  (1,+ akkor fennállnak a következő egyenlőtlenségek:
)



a
m M  ( , )  H ( , ) M  ( , ) G ( , )
a
p
a
p
p
a
p



a
a
p
p
p
a
a
p
G ( , ) M  ( , )  A ( , ) M k ( , ) M
A tétel bizonyítása a G monoton növekvősége alapján azonnal adódik.
p
Következmény: Az előbbiekből azonnal következik, hogy ha 2 k m,
*
, k m N , ,a p pozitív, valós szám minden i = 1,n esetén, akkor

i
i

p a + p a + ... p a k p a + p a + ... p a m
+
+
m
k
k
m
k 1 1 2 2 n n  m 1 1 2 2 n n
p + p + ... p n p + p + ... p n
+
+
1
1
2
2
112