Page 113 - vol2

Az eddigieknek egy magasabb szintű általánosítása a következő:
Ha I  , f I → egy monoton és folytonos függvény, x p
:
,
+ i i
pozitív valós szám minden i = 1,n esetén akkor az x 1 , ,..., x
x
n
2
számoknak, az f függvényre vonatkozó súlyozott kváziaritmetikai
 n 
 p x k 
k
a
közepének nevezzük az A ( , ) = f − 1  k= 1  kifejezést. Az f
b
f
 n 
 p k  
 k= 1 
függvényt szokás a közép generátorfüggvényének is nevezni.
Ha most sajátos f függvényeket választunk, sorra visszakapjuk a
fontosabb súlyozott klasszikus közepeket:
n
 p x k
k
x
1) Ha ( )f x = akkor A f ( , ) = k 1 = n , vagyis a számtani közép
a
b
 p k
k 1 =
n
 p a 2
i i
2) Ha ( )f x = x akkor A f ( , ) = i= 1 n , vagyis a négyzetes közép
a
b
2
 p i
i= 1
n
 p
1 i
3) Ha ( )f x = akkor A ( , ) = i= 1 , vagyis a harmonikus közép
b
a
x f n p
 i
i= 1 a i
1
 n   
i i 
 p a
4) Ha f ( ) = x x  ,   akkor A f ( , )  a b = i= 1  , vagyis a
 n 
 p i  
 i= 1 
hatványközép (Hölder-féle közép)
1
 n i p  n
i= 
5) Ha ( ) lnf x = x akkor A ( , ) =  a  i p , vagyis a mértani közép.
b
a
f
 i= 1 i  1
Amennyiben más f függvényt választunk, úgy más-más
középarányost kapunk. Ezzel befejeztük az általánosításunkat.
113