Page 110 - vol2

1
... a 
 a + a + + t t
t
t


lim  1 2 n  = n a a  ... a
t→ 0  n  1 2 n

Bizonyítás: Mivel 1 határozatlan esetről van szó, ezért az e szám
segítségével bizonyítunk, miszerint
1
 n t  t
a −

 ( i ) 1   lim  1 a t 1 1 a− + t 2 1− + ...+ t n a − 1   1 )
lim 1  i= 1  + =e t→ 0 n   t t t   =e n (lna 1 lna+ 2 ... ln n a+ + =
t→ 0  n 
 
 
1 2 ... n a
= e ln n a a = n a a ...a
1 2
n
4. állítás: Legyen a pozitív valós szám minden i = 1,n esetén,
i
akkor
1 1
... a 
... a 
 a + a + + t t  a + a + + t t
t
t
t
t
a) lim  1 2 n  = max a , b) lim  1 2 n  = min a
t→+  n  i= 1,n i t→−  n  i= 1,n i

Bizonyítás: Az a) bizonyítása végett a rendőr-elvet alkalmazzuk,
miszerint ha max a = M , akkor
i= 1,n i
1 1 1
... a 
... M 
t
t
t
t
t
M  M  t  a + a + + t t  M + M + + t t
=     1 2 n     = M és
1 n n n
n t      
mindkét oldalon t →+ határértéket véve, a középső kifejezés
határértéke is M kell legyen. A b) pont bizonyítása is az előzőek
mintájára történik.
A jelen dolgozatunk központi eredményeit a következő tételekben
fogalmazzuk meg:
1. Tétel: Legyen a pozitív valós szám minden i = 1,n esetén,
i
akkor értelmezzük az F R → R függvényt a következőképpen:
:
1
 a + a + + t t
... a 
t
t
t
F ( ) =  1 2 n  ha t  és (0)F = n a a ...a
0
1 2
n
 n 
Ekkor az F függvény folytonos és monoton növekvő az R-en.
Bizonyítás: A függvény folytonosságának a vizsgálata csak a t=0
pontban merül fel, ellenben a 3. állítás értelmében az F függvény az
értelmezéséből adódóan itt is folytonos. A monotonitás vizsgálata
110