Page 111 - vol2

t
céljából vezessük be az a = A jelöléseket minden i = 1,n esetén. Ekkor
i
i
felírható, hogy:
+
+
t
F '( ) A ln A + A ln A + ... A ln A A + A + ... A
t 2 = 1 1 2 2 n n − ln 1 2 n .
+
F ( ) A + A + ... A n A 1 + A 2 + ...+ A n
t
1
2
A 1 A 2 A n
t
F '( )
Ez a tört a 2. állítás alapján nem negatív, így hát t 2  0 , ahonnan
t
F ( )

t
F '( ) 0 , ami azt jelenti, hogy az F függvény monoton növekvő az R-
en.

2. Tétel: Legyen a pozitív valós szám minden i = 1,n esetén,
i
−
továbbá   (− , 1) ,   ( 1,0) ,   (0,1) és k  (1,+ akkor
−
)
fennállnak a következő egyenlőtlenségek:
1 1
 n     n   
 a i   a i  n
min a   i= 1   n   i= 1   n  a 
i= 1,n i  n  n 1  n  i= 1 i
    
  i= 1 a i  
1 1
 n    n  n k  k
 a i   a i  a i 
  i= 1   i= 1   i= 1   maxa
 n  n  n  i= 1,n i
   
   

Bizonyítás: Az egyenlőtlenséglánc tulajdonképpen a következő
egyenlőtlenséglánc:



−
k
)
F (−  F ( )  F ( 1)  F ( )  F (0)  F ( )  F ( )  F (+
)
Ami az F monoton növekvő volta miatt, a 3. és 4. Segédfeladatok alapján
igaz.
Ez tehát az az egyenlőtlenséglánc amelyik az összes fontosabb
középarányos egyenlőtlenséget tartalmazza. Sajátos módon, n= 2,
−
−
0  a  b ,   (− , 1) ,   ( 1,0) ,   (0,1) és k  (1,+ esetben a
)
következő egyenlőtlenségláncot kapjuk:

111