Page 108 - vol2

12. Középarányos egyenlőtlenségek általánosítása

Az előző paragrafusban láttuk, hogy ha 0  a  b, akkor
fennállnak a következő egyenlőtlenségek:

2
+
2  a + b  2 a b a + b 2
a   a b        b (1)
1 + 1   2   2 2
a b
ahol balról jobbra a kifejezések a harmonikus-, mértani., számtani- és
négyzetes közepek. Egyenlőtlenség mindenhol csak az a=b esetben áll
fenn.
A továbbiakban folytonos és monoton függvény által
általánosítjuk az előbbi középarányos egyenlőtlenségeket két tag helyett
n tagra. A bizonyítása több módon történhet, például matematikai
indukcióval, vagy éppen a konvex függvényekkel. Mint látni fogjuk ez
utóbbi egészen természetes környezete a középarányosoknak és a köztük
levő egyenlőtlenségeknek.
Tétel: Legyen a p pozitív valós szám minden i = 1,n esetén.
,
i
i
Ekkor fennállnak a következő úgynevezett súlyozott közepek közötti
egyenlőtlenségek:
n n n
 p i n n 1  p a  p a 2
i i
i i
i= 
min a  i= 1    a i p   i p  i= 1  i= 1  max a (2)
i= 1,n i n p  i  1 n n i= 1,n i
 i i= 1  p i  p i
i= 1 a i i= 1 i= 1
Bizonyítás: Ismert, hogy egy konkáv függvény teljesíti az úgynevezett
Jensen-féle egyenlőtlenséget, miszerint ha x p pozitív valós szám
,
i
i
minden i = 1,n esetén, akkor
( )
( ) +
p f x 1 p f ( ) ...x + + p f x n   p x + 1 1 p x + 2 2 ...p x  n n
n
2
2
1
+
+
p + p + ... p n f   p + p + ... p n   (3)
1
2
1
2
=
*
f
x
De az : f R → + * R , ( ) ln x függvény éppen konkáv az R
+
1 *
x
intervallumon, mivel f "( ) = −  0 ha x R , ezért teljesíti az előbbi
x 2 +
egyenlőtlenséget, ami alapján
108