Page 114 - vol2

13. Izomorf geometriai struktúrák

A modern matematikai oktatásban, az analógiával való oktatás
fontos szerepet tölt be a matematika minden területén. Ellenben az analógia
különös fontossággal bír a geometriai feladatok megoldása során is. Ott
rendkívül nagy szükségünk van az analógiával való következtetésre, hiszen
ez biztosítja a megoldáshoz szükséges sejtéseink alapját.
Az analógia az egyik legfontosabb összetett gondolkodási művelet,
de ugyanakkor alapvető bizonyítási módszer is. Az analóg, görög eredetű
szó, azt jelenti, hogy hasonló, valamivel bizonyos szempontból egyező,
annak megfelelő. Az A és a B rendszerek esetén ha A-ra érvényesek és
lényeges jellemzők az a, b, c és k tulajdonságok, ugyanakkor B-re is
érvényesek és lényeges jellemzők az a, b és c tulajdonságok, akkor A és B
tulajdonságainak analógiája szerint kijelenthető, hogy a k tulajdonság B-re
is várhatóan, de nem bizonyosan érvényes. Tehát míg hasonlónak
mondunk két dolgot, ha valamilyen tekintetben megegyeznek, akkor
analógnak mondunk két dolgot, ha megfelelő részeik egyforma
kapcsolatban vannak. Az analógiával mélyrehatóan Pólya György
foglalkozott, ahol kihangsúlyozta az analógia fontosságát az oktatásban,
problémamegoldásban, felfedezésben, és egyszerűen a mindennapi
gondolkodásban. Kihangsúlyozta, hogy az analógiás következtetés
kockázatos, ugyanis a következtetés amit analógiával vonunk le csak
valószínű, és nem biztos, bizonyítani kell. A tisztázott analógiák ellenben
az analógiáknak azon változata, amelyeknél az objektumok rendszerei
ugyanannak az alapvető törvényeknek (axiómáknak) tesznek eleget, és az
ilyen analógiáknak teljesen világos jelentésük van, ekkor a következtetés
nem csak valószínű, hanem egyértelműen igaz.
Az analógiás vizsgálódásunkat a következő feladaton keresztül
szemléltetjük:
Mintafeladat: Az ABCD paralelogrammában AB=4, BC=2, BD=3. Legyen
G az ABD háromszög súlypontja, I a BCD háromszögbe írt kör
középpontja és M a (BC) oldalnak a C ponthoz közelebb eső harmadoló
pontja. Bizonyítsuk be, hogy a G, I és M pontok kollineárisak.
A feladat rajza a következő:

114