Page 104 - vol2

g 2
konvergens és ugyanakkor lim a = lim n+ 1 = g . Tehát a két sorozat valóban
n→ n n→ g n
,
konvergens, és ugyanahhoz a számhoz tart, amit az x y számok
x
(kezdetértékek) számtani-mértani közepének nevezzük, és ag ( , ) vagy
y
x
ga ( , ) -nal -nal jelöljük.
y
Bizonyára meglepő, hogy a számtani-mértani közepet nem egy képlettel
(összefüggéssel) értelmeztük, hanem egy határértékkel!

Példa: Számítsuk ki az x = 24 és y = 6 számtani-mértani közepét!

+
24 6
A rekurziók alapján az első két iteráció a következő: a = = 15 és
1
2
+
=


g = 24 6 12 , a = = 15 12 = 13,5 és b = 15 12 13,416... .
1 2 2
2
A számtani-mértani közép e két sorozat közös határértéke, ami megközelítően
13.4581714817256154207668131569743992430538388544.
Ha szeretnénk olyan rekurziót kapni, amelyikben csak egyik sorozat
g 2 g 2
szerepel, akkor mivel a = n+ 1 így a = n+ 2 , visszaírva az első rekurzióba
n
g n n+ 1 g n+ 1
+
g g 2 + g 2 x y
azt kapjuk, hogy g 2 = n + 1 n + 1 n , ahol g = xy és g = xy .
1
n+
2
g n 2 2 2
2) A mértani-harmonikus közép
Tekintsük a következő képen értelmezett ( ) 0 és ( ) 0 sorozatokat:
h
g
n n
n n
2g h
g = , h = y , g n+ 1 = h g , h n+ 1 = g + h n bármely n  esetén.
0
x
n n
0
0
n
n
n
2. Tétel: A ( ) 0 és ( ) 0 sorozatok konvergensek, és a határértékez az
g
h
n n
n n
, x y számok (kezdetértékek) mértani-harmonikus közepének nevezzük, és
x
gh ( , )vagy hg ( , ) -nal jelöljük.
y
y
x

104