Page 103 - vol2

11. Vegyes középértékekről

Bizonyára mindenki ismeri a népszerű számtani-, mértani-, harmonikus
közepeket (középarányosokat), amelyek a következők:

x + y 2xy
a ( , ) = , ( , )g x y = xy , ( , )h x y = ahol ,x y 
0
y
x
2 x + y

Ezekre igaz, hogy m h ( , )  g ( , ) a ( , ) M (1) ahol

y
x
x
y
x
y
m = min( , ) és M = max( , ).
y
x
y
x
Gondolná-e valaki, hogy ezeknek a középarányosoknak létezik
kombinált változata is, amelyek a következők: számtani-mértani közép, mértani-
harmonikus közép, számtani-harmonikus közép?
Bizony, ezek léteznek, és nagyon meglepően értelmezik. Nézzük csak a
részleteket!
1) A számtani mértani-közép
Tekintsük a következő képen értelmezett ( ) 0 és ( ) 0 sorozatokat:
g
a
n n
n n
a + g
0
y
x
a = , g = , a = n n , g = a g bármely n  esetén.
1
0
0
n+
2 n+ 1 n n
1. Tétel: Az ( ) 1 és ( ) 1 sorozatok konvergensek, és a határértékez az
a
g
n n
n n
, x y számok (kezdetértékek) számtani-mértani közepének nevezzük, és
ag ( , ) vagy ga ( , ) -nal jelöljük.
x
y
y
x
Bizonyítás: Nyilvánvalóan a  g , ezért g n+ 1 = a g  g g = g vagyis a
n
n
n
n
n
n
n
( ) 1 sorozat monoton növekvő. Továbbá könnyen látható, hogy felűlről
g
n n
korlátos, mivel x és y közül a nagyobb jó felső korlát, ami következik abból, hogy
a számtani és a mértani közép is a kettő között van. Emiatt a monoton
konvergencia tétele szerint konvergens, tehát létezik határértéke, amit jelöljünk
g 2
g-vel: lim g = g . Azt is látjuk, hogy a = n+ 1 , így az ( ) sorozat is
a
n→ n n g n n n 1

103