Page 102 - vol2

Akárcsak a hatványközép és a Lehmer-közép esetén, itt is a sajátos
esetekben visszakapjuk a klasszikus közepeket:
a + b 2
2
=
a
b
b
S ( , ) = a b lim S ( , ) min( , ), S ( , ) = ab , S ( , ) =
a
a
b
a
b
− x→− x − 1 1 2
2
−
+
a b a b
b
S ( , ) = a b lim S ( , ) = a b , S ( , ) = ,
a
0
x→ 0 x ln a − lnb 2 2
=
=
a
b
b
a
b
S  ( , ) limS x ( , ) max( , ), stb.
a
x→
A klasszikus középarányosoknak egy lényegesen magasabb szintű
általánosítása a következő:
Kváziaritmetikai közép
Ha I  , f I → egy monoton és folytonos függvény, Akkor az
:

, a b I számoknak az f függvényre vonatkozó kváziaritmetikai
a
b
közepének nevezzük az A f ( , ) = f − 1   f ( ) + f ( )  b  kifejezést. Az f
a
 2 
függvényt szokás a közép generátorfüggvényének is nevezni.
Ha most sajátos f függvényeket választunk, sorra visszakapjuk a
fontosabb klasszikus közepeket:
+
a b
b
x
1) Ha ( )f x = akkor A f ( , ) = , vagyis a számtani közép
a
2
2
a + b 2
2) Ha ( )f x = x akkor A ( , ) = , vagyis a négyzetes közép
2
a
b
f
2
1 2ab
3) Ha ( )f x = akkor A ( , ) = , vagyis a négyzetes közép
b
a
+
x f a b
1
 a + b   

a
b
4) Ha f ( ) = x x  ,   akkor A f ( , ) =   , vagyis a
 2 
hatványközép (Hölder-féle közép)
5) Ha ( ) lnf x = x akkor A f ( , ) = ab , vagyis a mértani közép
b
a

a
1  e + e   b

x
x
b
a
6) Ha f ( ) = e akkor A ( , ) = ln   , vagyis az
f   2 
exponenciális-logaritmikus közép.
Befejezésül megjegyezzük, hogy még vannak megnevezett vagy
meg nem nevezett másfajta közepek is, de ezek nem használatosak, ezért
eltekintünk tőlük és itt nem részletezzük.

102