Page 101 - vol2

3 (t − 1) 4
f '( ) = t  0 , ezért az ( )f t függvény monoton növekvő, tehát
8 (t + 1) 4
t
=
f ( )  t f (1) 0 ami éppen a bizonyítandó egyenlőtlenség.
Következmény: A hatványközép monotonítása alapján az is igaz, hogy

L ( , ) M 1 ( , ) , bármely 0  p  3 esetén.
a
b
b
a
p
Megjegyzés: Érdekes módon igazolható, hogy ha p  akkor
3
a
b
a
M 1 ( , )  L ( , ) . Ehhez tulajdonképpen azt kell bizonyítani, hogy
b
p
p
2 p t − 1  lnt  t  1 esetén, amennyiben p  . Azonban ennek a
3
p (t + 1) p
bizonyítására még nem találtak igazán elemi módszert.
Ez utóbbi két középarányos kapcsán felmerül a kérdés: milyen
viszony van, a Héron és a logaritmikus közepek között? Erre a válasz:
0
b
a
11.álltás: Ha a ,b  , akkor L ( , )  a b M 1 ( , )  a b H ( , ) vagyis
2
−
+
a b   a + b  2   a + ab b .
ln a − lnb   2    3
−
a b  3 a + 3 b  3
Bizonyítás: Mivel a 10. állítás alapján    , továbbá
ln a − lnb   2  
 3 a + 3 b  3  a + b  2
az (1’) egyenlőtlenséglánc alapján       és a 2.



 2   2 
 a + b  2 a + ab b
+
állítás alapján      , ezért a tranzitivítás szerint,
 2  3
bizonyítottuk az egyenlőtlenség láncot.
Stolarsky közép
 1
x
  a − b  x x− 1 a  , b x  1
   ( x a b )  
−


=
0
S x ( , ) = a b  a a b ahol ,a b  és x  .
 1
 1 b  b b a

−
  a  a  , b x = 1

  e a 
101