Page 86 - vol1

6. feladvány: Írd be a számokat a mellékelt ábra kis köreibe 1-től 8-ig
úgy, hogy mind a 6 kör mentén a számok összege ugyanannyi legyen.
Megfejtés: Betűzzük el a kis köröket a mellékelt ábra szerint. Írjuk fel tehát a
feladat feltételeit: a+ b+ c= S (1), b+ d+ s= S (2), c+ e+ g= S (3), f+ g+ h= S (4)
b+ c+ f+ g= S (5), a+ d+ h+ e= S (6), a+ b+ c+ d+ e+ f+ g= 36 (7). Az (5)- (6) alapján
2S= 36, ezért S= 18. Továbbá az (1) –(4) alapján a+ 2b+ 2c+ d+ 2f+ 2g+ h+ e= 72,
így a (7) alapján 36+ b+ c+ f+ g= 72 vagyis az (5) alapján 36+ 18= 72
ellentmondásra jutunk. Tehát a feladványnak nincs megoldása.
A következőben látni fogjuk, hogy ha ez utóbbi feladványban elhagyjuk
a külső kört, akkor már lesz megoldás.
7. feladvány: Írd be a számokat a mellékelt ábra kis
köreibe 1-től 8-ig úgy, hogy mind az 5 kör mentén a számok
összege ugyanannyi legyen.
Megfejtés: Vegyük észre, hogy a mellékelt ábra a kitöltés
szempontjából ekvivalens a 2. feladvány ábrájával, hiszen
például, ha az ábrák gumikból lennének, akkor szakítás nélkül, folytonosan
átformálhatnánk egyiket a másikba (úgy mondjuk, hogy topológiailag
ekvivalensek). Ezért ennek a feladványnak a megoldásai a 2. feladvány
megoldásaival azonosak.
8. feladvány: Írd be a számokat a mellékelt
ábra kis köreibe 1-től 10-ig úgy, hogy mind az 3 kör
mentén, mind a 2 körív mentén és mind a 4 egyenes
mentén a számok összege 20 legyen.
Megfejtés: Betűzzük el a kis köröket a mellékelt ábra
szerint. Írjuk fel tehát a feladat feltételeit: a+ b+ c+ d+
e= 20 (1), a+ b+ f+ g= 20 (2), a+ e+ f= 20 (3), b+ e+ g=
20 (4), b+ c+ g+ i= 20 (5), c+ e+ i= 20 (6), c+ d+ i+ j= 20
(7), d+ e+ j= 20 (8), f+ g+ h= 20 (9), h+ i+ j= 20 (10), a+
b+ c+ d+ e+ f+ g+ h+ i+ j= 55 és természetesen a betűk páronként különbözőek.
. Az (1)-(9)-(10) összegzéséből a+ b+ c+ d+ e+ f+ g+ 2h+ i+ j=60, és a (11) alapján
h= 5 adódik. Továbbá a (2)- (7) összegzéséből kapjuk, hogy a+ b+ c+ d+ f+ g+ i+
j=40 és a (11) alapján e+ h= 15 adódik, és mivel h= 5, ezért e= 10. Írjuk be tehát
az ábra h és e kisköreibe az 5 illetve 10 értékeket, és folytassuk tovább a
kitöltést. Az (1) és e= 10 alapján a+ b+ c+ d= 10 adódik, és mivel 10= 4+ 3+ 2+ 1

az egyetlen felbontása a 10-nek, ezért , , ,a b c d  1,2,3,4 . vegyük sorra:
1) Ha a= 1, akkor f= 9, g= 6, b=4 és vagy c=3 és d= 2, vagy c= 2 és d= 3.
2) Ha a= 2, akkor f= 8, g= 7, b= 3, és vagy c= 4 és d= 1, vagy c= 1 és d= 4.
3) Ha a= 3, akkor f= 7, g= 8, b= 2 és vagy c= 4 és d= 1, vagy c= 4 és d=4
4) Ha a= 4, akkor f= 6, g= 9, b= 1 és vagy c=3 és d= 2, vagy c=2 és d= 3.

86