Page 85 - vol1

szám beírása egyértelmű. Mivel a 2, 3, 7 illetve 6, 4, 5 permutációinak a száma
6- 6, ezért a különböző megoldások száma 12 (lásd az előző részben is).
4. feladvány: Írjuk be az ábrán látható háromszög kis karikáiba a
számokat 1-től 9-ig úgy, hogy mind az 6 szakasz mentén a számok összege
ugyanannyi legyen!
Megfejtés: Betűzzük el a kis köröket a mellékelt ábra szerint. Írjuk fel tehát a
feladat feltételeit: a+ b+ c+ d+ e+ f+ g+ h+ i= 45 (1), a+ b+ f=S (2), a+ c+ g= S (3),
a+ e+ i= S (4), a+ d+ h= S (5), b+ c+ d+ e= S (6), f+ g+ h+ i= S (7). Összegezük az
(1)- (5) összefüggéseket, így kapjuk: 4a b+ c+ d+ e+ f+ g+ h+ i= 5S vagyis
4S
3a+ 45= 5S, ahonnan a = − 15 (*). Továbbá a (6)- (7) összefüggések alapján
3
45- a = 2S adódik, ahonnan a= 45 -2S (**). A (*) és (**) összefüggések alapján
ellenben S= 18, így a= 9 adódik. Megkeressük a 18-nak azon felbontásait,
amelyekben a 9 szerepel. Ezek a következők: 18= 9+ 8+ 1, 18= 9+ 7+ 2,
18= 9+ 6+ 3, 18= 9+ 5+ 4. Ezek kerülnek a ferde egyenesek mentén levő
karikákba. A vízszintesekbe azok kerülnek, amelyekben nem szerepelnek
egyidőben 8 és 1, 7 és 2, 6 és 3, 5 és 4. Ezek a következők: 18= 8+ 5+ 3+ 2,
18= 7+ 6+ 4+ 1. Ezekből négyet az alsó sorba 4!= 24 féle képpen írhatunk, majd
a másik négyet is 24 féle képpen, ez összesen 48 különböző megoldás. A fölötte
levő sorba a kitöltés már egyértelmű.
5. feladvány: Írd be a számokat a mellékelt ábrán
látható céltáblába 1-től 7-ig úgy, hogy az összegük
mindkét körvonalon, és az egyenesek mentén minden
esetben ugyanannyi legyen.
Megfejtés: Betűzzük el a kis köröket a mellékelt ábra szerint.
Írjuk fel tehát a feladat feltételeit: a+ b+ c+ d+ e+ f+ g= 28 (1), a+ c+ e= S (2),
b+ d+ e= S (3), g+ f+ e= S (4), a+ b+ g= S (5), c+ d+ e= S (6).
Összegezve a (2)- (4) összefüggéseket kapjuk, hogy:
a+ b+ c+ d+ e+ f+ g +2e= 3S, vagyis 28+ 2e= 3S, ahonnan
3S
e = − 14 (*). Most összegezzük az (5)- (6) összefüggéseket és
2
kapjuk, hogy a+ b+ c+ d+ e+ f+ g –e= 2S ahonnan 28- e= 2S, vagyis e= 28- 2S (**).
Így a (*) és (**) összefüggések alapján S= 12 és e= 4 adódik. A körök mentén nem
szerepel a 4-es, ezért a 12-nek olyan felbontását keressük, amelyekben nem
szerepel a 4-es. Ezek: 12= 7+ 3+ 2 és 12= 6+ 5+ 1. Ezek közül valamelyiket
helyezzük el a külső körön, ez 2 féle képpen lehetséges. A belső körön a számok
beírása egyértelmű. A külső körön a másik három számot szintén 2 féle képpen
helyezhetjük el, ezért összesen 4 különböző megoldásunk van.

85