Page 81 - vol1

9. Bűvös alakzatok kitöltéséről II.

Az előző részben olyan módszert mutattunk be, amikor az illető
számokat összegekre bontottuk, és követtük a számok előfordulásának a
gyakoriságát. Azonban ennek a módszernek is megvannak a hátrányai ugyanis,
ha egy számot nagyon sok féle képpen lehet összegre bontani, akkor a helyes
megoldások kiválasztása már körülményes lehet, éppen a sok lehetőség miatt.

Ebben a részben más megvilágításban tárgyaljuk a feladványokat:
egyenletrendszereket állítunk fel, amelyeket diszkrét, véges számhalmazokon
kell megoldani. Azonban bizonyos esetekben a számok összegekre való
bontásának a módszerét továbbra is alkalmazzuk, és megpróbálunk hatékony
kiszűrési módszert keresni azokra az esetekre, amikor a lehetőségek száma túl
nagy. Az egyenletrendszeres módszernek van egy nagy előnye is: ezzel a
módszerrel meg tudjuk állapítani, hogy a bűvös alakzatokon levő összeg milyen
korlátok között változhat, így indulásból nem kell megadni, hogy mennyi az
összeg csupán annyit, hogy a számok összege állandó, és ennek az állandónak az
értékét meg tudjuk határozni. Nézzünk hát néhány megoldott feladványt:

1.feladvány: Írjuk be az ábrán látható háromszög kis
karikáiba a számokat 1-től 6-ig úgy, hogy a háromszög
mindhárom oldala mentén a számok összege állandó legyen!
Megfejtés: Betűzzük el a kis köröket a mellékelt ábra szerint.
Írjuk fel tehát a feladat feltételeit:

a , , , , , f  1 , 2, 3, 4, 5, 6 ,
b
c
e
d
a+ b+ c= c+ d+ e= e+ f+ a= S (állandó). Összeadva a három
egyenletet azt kapjuk, hogy:
3S= a+ b+ c+ d+ e+ f= 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ a+ c+ e vagyis a+ c+ e= 3S- 21. De a
feltételek alapján 6= 1+ 2+ 3 a+ c+ e= 3S- 21  4+ 5+ 6= =15 ahonnan

27  3S  36 és mivel S  N , ezért felírható, hogy S  9, 10, 11, 12 .
Vegyük sorra a négy esetet!
1) Ha S= 9, akkor írjuk fel a 9-nek a háromtagú összegre bontásait:
9= 6+ 2+ 1, 9= 5+ 3+ 1, 9= 4+ 3+ 2. Vegyük észre, hogy a felbontásokban a 4, 5, 6
ami egyszer szerepelnek ezeket oldal közepekre kell írnunk, de 1, 2, 3 kétszer
szerepelnek, ezeket csúcsokba kell írnunk, ezek után a kitöltés már egyértelmű.

81