Page 83 - vol1

Az (1)- (4) egyenletek megfelelő oldalainak az
összegzéséből kapjuk, hogy
2(a + c + e + g ) + ( b + d + f + h) = 4S .
De S = a + b + c + d + e + f + g + h =
= 1 + 2 + …+ 7 + 8 = 36, ezért a + c + e + g = 4S - 36 =
=4 (S – 9). Ebből azonban felírható, hogy 10= 1+ 2+ 3+
4 a + c + e + g = 4S - 36 = 4 (S – 9) 5+ 6+ 7+ 8= 26. Tehát 2,5 ≤ S-9 ≤ 6,5
ugyanakkor SN, ezért 3 ≤ S-9≤ 6 ahonnan S  12, 13, 14, 15.
Vegyük sorra ezt a négy esetet.
1) Ha S= 12, akkor a+ c+ e+ g= 4(12- 9)= 12. Írjuk fel a 12-nek a négytagú
bontásait. Ezek a következők: 12= 6+ 3+ 2+ 1 vagy 12= 5+ 4+ 2+ 1. Az első esetben
vegyük észre, hogy ha 6 és három két szomszédos csúcson lenne, akkor közéjük
12- 6 -3= 3 kerülne ami azt jelenti, hogy a 3-as kétszer szerepel. Tehát a 6 és a
három nem lehetnek szomszédosak, ezért átlósan helyezkednek el.
Állapodjunk meg abban, hogy ennek a feladatnak a megoldása során a
bontásokban vastagon fogjuk jelölni azokat a számokat amelyek átlósan kell
elhelyezkedjenek. Ha 6 és 3 átlósan helyezkednek el, akkor a másik két csúcsban
1 illetve 2 (vagy fordítva) van. Ezáltal a többi karikák kitöltése már egyértelmű.
Egy megoldás a baloldali ábrán látható. Továbbá, ha összecseréljük a 6 és 3,
illetve 1 és 2 átlók menti elemeke, akkor még 2 megoldása a középső és a
jobboldali ábrán látható. Ha mindkét átló elemeit egyszerre cseréljük össze,
akkor olyan esetet kapunk, ami forgatással a legelső esettel azonos. Tehát 3
különböző megoldás van,

A második esetben 5 és 2 átlósan helyezkednek el (másképpen közéjük
5 kell, ez absurdum), így 5 és 1 szomszédosak, közéjük 6 kell, továbbá 4 és 2
szintén szomszédosak, közéjük is 6 kell, ez absurdum, tehát ebben az esetben
nincs megoldás.
2) Ha S= 13, akkor a+ c+ e+ g= 4(13- 9)= 16. Írjuk fel a 16-nak a négytagú
bontásait. Ezek a következők: 16= 8+ 4+ 3+ 1, 16= 8+ 5+ 2+ 1, 16= 7+ 6+ 2+ 1,
16= 7+ 5+ 3+ 1, 16= 7+ 4+ 3+ 2, 16= 6+ 5+ 3+ 2, 16= 6+ 5+ 4+ 1. Minden esetben
vastagon jelöltük azt a két számot, amelyek muszáj, hogy átlósan
helyezkedjenek el. Vizsgáljuk az első felbontást. Mivel 8 és 4 átlósan

83