Page 77 - vol1

18= 9+ 8+ 1, 18= 9+ 7+ 2, 18= 9+ 6+ 3, 18= 9+ 5+ 4, 18= 8+ 7+ 3,
18= 8+ 6+ 4, 18= 7+ 6+ 5. Vegyük észre, hogy az egyetlen szám ami 4-szer
fordul elő, az a 9, ez kerül a háromszög felső csúcsába. Most keressük meg
a 18= d+ e+ f +g négytagú felbontásokat:
18= 8+ 7+ 2+ 1, 18= 8+ 6+ 3+ 1, 18= 8+ 5+ 3+ 2, 18= 8+ 5+ 4+ 1,
18= 7+ 6+ 3+ 2, 18= 7+ 6+ 4+ 1, 18= 7+ 5+ 4+ 2. Ezek közül nem felelnek
meg azok amelyekben szerepelnek a 7+2, 6+3, 5+4, mert ezek
szerepelnek már ott ahol 9-es van, vagyis a ferde vonalmenti beírások.
Maradt tehát a 18= 8+ 5+ 3+ 2 és 18= 7+ 6+ 4+ 1. Ezek közül valamelyik a
felső, másik az alsó sokba kerülnek (tehát 2 megoldás). Továbbá 4 számot
4!=24 féle képpen cserélhetünk, ezért egy soron belül 24 megoldás van.
A kitöltés sorrendje: beírjuk a felső csúcsba a 9-et, a felső sorba 8, 3, 3, 2
vagy 7, 6, 4, 1 valamilyen sorrendben, és akkor a második sorba a 7, 6, 4,
1 beírása már egyértelmű. Tehát 2×24=48 különböző megoldás van.
6. feladvány: Írjuk be az ábrán látható
háromszög kis karikáiba a számokat 1-től 8-ig úgy, hogy
mind az 5 kör mentén a számok összege 12 legyen. Majd
úgy, hogy az összeg 18 illetve 16 legyen!
Megfejtés: Írjuk fel az összes 12= a+ b+ c alakú
felbontást:
12= 8+ 3+ 1, 12= 7+ 4+ 1, 12= 7+ 3+ 2, 12= 6+ 5+ 1, 12= 6+ 4+ 2,
15= 5+ 4+ 3. Továbbá írjuk fel a 12= d+ e+ f+ g négytagú felbontásokat is.
Ezek a következők:
12= 6+ 3+ 2+ 1 és 12= 5+ 4+ 2+ 1. Ez utóbbi kettő közül kell valamelyiket
ráírnunk a közbülső kőrre (ezt 3!=6 féle képpen cirkulárisan
permutálhatjuk). Miután már ráírtuk, akkor a többi szám beírása már
egyértelmű. Összesen tehát 2×6= 12 különböző megoldás van. Ha az
összeg 18 kell legyen, akkor mivel 18= 7+ 7+ 3, 18= 8+ 6+ 4, 18= 7+ 6+ 5,
ezért mivel csak három felbontás van, nem jut mind a 4 körre, ezért ez
esetben nincs megoldás. Ha az összeg 16, ennek 8 darab 3 tagú felbontása
van, így a megoldás hosszadalmas lenne, ezért jelölje rendre
x, y, z, t a középső 4 számot. Adjuk most össze az ábra összes számait.
Ebben, x, y, z, t kétszer szerepel, és mivel 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8= 36, ezért
36+x+ y+ z+ t= 4×16 adódik, ahonnan x+ y+ z +t= 28, de ez ellentmond
annak, hogy x+ y+ z +t  5+ 6+ 7+ 8= 26.

77