Page 50 - vol1

6. Különböző összegek figurális reprezentációi

A továbbiakban különféle számkombinációk és összefüggések
reprezentálásáról, és bizonyos összegek kiszámolásáról írunk.

Sajátos összefüggések
Az előzőekben láttuk, hogy az n-edik k-szögszám képlete

S ( ) = 1 [(k − 2)n − (k − 4) ], minden k 3 és n 1 esetén.
k
2
n
n
2
1. feladat: Igazoljuk, hogy S n (3) + S n− 1 (3) = S n (4) .
Ez a tulajdonság azt fejezi ki, hogy két egymás utáni háromszögszám
összege éppen négyzetszám, pontosabban az n-edik és az (n-1)-ik
háromszögszám összege éppen az n-edik négyzetszámmal egyenlő. Az ókori
Görögök ezt az n=4 értékre így bizonyították:

Az összefüggés helyessége természetesen ellenőrizhető az S n ( ) képlet
k
segítségével.
2. feladat: Igazoljuk, hogy S 2n+ 1 (4) =8× S n (3) +1

(Diophantosz, vagy Plutarch formula). Ez a tulajdonság azt fejezi ki, hogy az
n-edik háromszögszám 8-szorosa meg 1, éppen a (2n+1)-ik négyzetszámot adja.
Az n=2 esetet az ókori Görögök így ábrázolták:

50