Page 45 - vol1

3
számláló a gnómon számban szereplő fekete jelek száma, esetünkben rendre
6
2
, illetve . Ezzel meg is volnánk, és máris megkaptuk a x + 2 x = 9 és
10
x + 2 x = 22 egyenletek pozitív gyökének a megközelítő értékeit, ahogyan az
előbbi ábrán is láthatók.
Első kérdésünk ami felmerülhet: vajon mennyire pontosak ezek a
 3  2 3

megközelítések? Nézzük csak:  2  + 2 = 8,75 9 illetve
 6  6
 2  2 2
 4  + 4 = 21,84  22 . Ezúttal is meglepően pontosak a
 10  10
megközelítések!
Nézzük ellenben mai szemmel, hogy mi is történt az előbbiekben, az
x + 2 x = m egyenlet pozitív gyökének a meghatározása során?

*
Láttuk tehát, hogy olyan n N számot kerestünk, amelyre
( n n+ 1) m  (n+ 1)(n+ 2) . Legyen x az x + 2 x = m megközelítő

0
megoldásának értéke. Az x egész része éppen n . A törtrészének a nevezőjébe
0
−
az (n+ 1)(n+ 2) n (n+ 1) 2n+ gnómonszám kerül, a számlálóba pedig
=
2
m − ( n n + 1)
−
(m n (n+ 1)) , vagyis x = 0 n + 2n + 2 . Az ókori Görögök szerint tehát
m − ( n n + 1)
m  n + . Nézzük csak meg, hogy mennyire is pontos ez a
2n + 2
megközelítés. Az előbbiekben láttuk, hogy a megközelítő értékek hiánnyal
közelítették meg a gyökmennyiséget. Éppen ezért, ha m n= 2 + k , akkor
k
x = 0 n + 2n + 2 , ahol k  1,2,...,2n +  1 . Becsüljük fel a következő eltérést:

2
2  k  k 1 2 1
m − x − x = ( n n + 1) k −  n +  − n − = − k + k
+
0 0  2n +  2 2n + 2 (2n + 2) 2 (2n + 2)
Tekintsük most a következő másodfokú függvényt:
1 1
2
k
f ( ) = − k + k . Látható, hogy a függvénynek maximuma
(2n + 2) 2 (2n + 2)

45