Page 55 - vol1

A szemléltetett elrendezés alapján könnyen belátható, hogy
+
+
+
=

+
+
2 4 6 ... 98 100 49 50
valamint az is, hogy általában minden n * esetén
+
2 4 6 ... (2n − 2) 2n = ( n n + .
+
+
+
+
1)
11. feladat: Számítsuk ki az 1 3 5 ... 97 99+ + + + + összeget!
1. Megoldás: Ezúttal is egy szemléletes megoldást mutatunk be.
A gnómonszámokból rakjuk ki rendre a következő négyzetszámokat:

1 1 3 4 1 3 5 9 1 3 5 7 16
+
+
=
=
+
=
+
+
+
A fenti elrendezések alapján könnyen belátható, hogy

+
=
+
+
+
+
=
2
1 3 5 ... 97 99 50 50 50 ,
valamint az is, hogy általában minden n * esetén
1 3 5 ... (2n − 3) (2n − 1) n .
+
+
2
+
+
=
+
2. Megoldás: Hasonló szemléletes bizonyítás olvasható le a következő
ábráról is.

1
Ennek alapján igazolható, hogy 1 3 ... (2n+ + + − 1) = (2 ) = n .
2
2
n
4
Megjegyzés: Megfigyelhető, hogy az előbbiekben olyan összegeket
számoltunk ki, amelyben az egymás utáni tagok különbsége állandó (például
−
=
−
=
=
=
−
2 1 3 2 4 3 ... 1, stb).
Ezért az 9. feladat 1. megoldása során alkalmazott módszerrel könnyen
bizonyítható, hogy

55