Page 53 - vol1

megadja a bizonyítás ötletét:

+
8. feladat: Igazoljuk, hogy (1 2 3 ... n+ + + + ) = 1 + 2 + ... n
2
3
3
3
Az összefüggést úgy is igazolhatnánk, hogy kiszámítsuk a baloldali és a jobboldali
összegeket, ellenben most egy roppant ötletes összefüggést használunk, amely
az egyenlőséget szemlélteti n= 3 esetén. Ebből lehet következtetni az általános
bizonyításra:

9. feladat: Határozzuk meg a 100-adik háromszögszámot, vagyis a
+
+
+
+
+
H 100 = 1 2 3 ... 99 100 összeget!
1. Megoldás: Sokak számára már nem újdonság az, ahogyan Karl F. Gauss
(1777–1855) német matematikus, minden idők egyik legnagyobb matematikusa,
még elemi iskolai tanuló korában ámulatba ejtette tanítóját, mert fejben
kiszámolta olyan összegek eredményét, amelyek nem azonnaliak. Egy ilyen
példa éppen az
+
+
=
+
+
+
1 2 3 ... 99 100 5050
összeg eredménye, amely tulajdonképpen a H100-at jelenti.
Gauss gondolatmenetének a lényege a következő volt: ha az összeg
kétszeresét vesszük, akkor rendre a következő egyenletek írhatók fel:

53