Page 54 - vol1

+
+
=
+
2 (1 2 3 ... 99 100) (1 2 3 ... 99 100) (100 99 ... 3 2 1) =

+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
= (1 100) (2 99) ... (99 2) (100 1) 100 101.
+
+

+

100 101
Tehát 1 2 3 ... 99 100+ + + + + = = 5050. (1)
2
Ennek mintájára igazolható, hogy bármely n pozitív egész szám esetén
( n n + 1)
+
+
1 2 ... n = . (2)
+
2
( n n + 1)
Ezáltal megkaptuk az n-edik háromszögszám képletét: H = .
n
2
A továbbiakban bemutatjuk, hogy a háromszögszámok segítségével a Hn
meghatározása még szemléletesebb.
2. Megoldás: Illesszünk egymással szembe két, azonos típusú
háromszögszámot, ahogyan a következő ábrák mutatják. Így egy-egy
téglalapszámot kapunk:



2 3 3 4 4 5
1 2+ = 1 2 3+ + = 1 2 3 4+ + + =
2 2 2
Hasonló módszerrel azonnal belátható mind az (1), mind a (2) reláció is.
Észrevehető, hogy a 2. módszerben a figurális számokkal ugyanazt tettük, mint
az 1. módszerben, ugyanis mindkét esetben „szembehelyeztük” egymással a
számokat.
10. feladat: Számítsuk ki a 2 4 6 8 ... 98 100+ + + + + + összeget!
Megoldás: Nyilvánvaló, hogy kiemelve minden tagból a 2-t, a feladatot máris
visszavezettük az előbbiekre. Így szemléletesebben is bizonyíthatunk.
A tágabb értelemben vett gnómonszámokból rakjuk ki rendre a következő
téglalapszámokat:

+
+
=
+
2 4 2 3+ =  2 4 6 3 4+ + =  2 4 6 8 4 5

54