Page 47 - vol1

4) Az eredmény egészrésze az (n n + 2)-ből az n lesz, esetünkben 3, ami
éppen annak a legnagyobb (n n + 2) típusú téglalapszámnak a „mérete”
amely fekete jelekből áll. (az ábrákon sorra leválasztottuk a
gnómonszámokat, ezek száma is ugyanaz mint az n)
5) Ezután képeztük a törtrészt alkotó közönséges törteket: a nevezőjük a
gnómonszám pöttyeinek a száma, a (n+ 1)(n+ 3) n (n+ 2) = 2n+
−
3
és a számláló a gnómon számban szereplő fekete jelek száma,
7
esetünkben .
9

Ezzel meg is volnánk, és máris megkaptuk az x + 2 2x = 22 egyenletek pozitív

gyökének a megközelítő értékeit, ahogyan az előbbi ábrán is látható.
Első kérdésünk ami felmerülhet: vajon mennyire pontosak ezek a
 7  2 7

megközelítések? Nézzük csak:  3  + 2 3 = 21,76  22 . Ezúttal is
 9  9
meglepően pontos a megközelítés!

Nézzük ellenben mai szemmel, hogy mi is történt az előbbiekben, az
x + 2 2x = m egyenlet pozitív gyökének a meghatározása során?

*
Láttuk tehát, hogy olyan n N számot kerestünk, amelyre

( n n+ 2) m  (n+ 1)(n+ 3) . Legyen x az x + 2 2x = m megközelítő
0
megoldásának értéke. Az x egész része éppen n . A törtrészének a nevezőjébe
0
−
az (n+ 1)(n+ 3) n (n+ 2) = 2n+ gnómonszám kerül, a számlálóba pedig
3
m − ( n n + 2)
−
(m n (n + 2)) , vagyis x = n + . Az ókori Görögök szerint tehát
0
2n + 3
m − ( n n + 2)
m  n + . Nézzük csak meg, hogy mennyire is pontos ez a
2n + 3
megközelítés. Az előbbiekben láttuk, hogy a megközelítő értékek hiánnyal
közelítették meg a gyökmennyiséget. Éppen ezért, ha m n= 2 + k , akkor
k
x = 0 n + 2n + 3 , ahol k  1,2,...,2n +  2 . Becsüljük fel a következő eltérést:

 k  2 2k
−
m x − 2x = ( n n + 2) k −  n +  − 2n − =
+
2
0
0
 2n + 3  2n + 3

47