Page 178 - vol1

Nézzük most a  (4) értékét. Az eredeti ábrán a 4 oldalegységnyi
szabályos háromszögből 3 darab van, a három csúcsnál. Nézzük most a beleírt
háromszögeket:

Belátható, hogy ezekből éppen 3 különböző van, így (4) 3 3 3 4 3 12 = +  =  = .

Továbbá könnyen belátható, hogy 1 darab 5 egységnyi háromszög van, és ebbe
beírva még van 4 darab. Tehát (5) 1 4 1 5 1 5 = +  =  = . Tehát a feladatunkra a
válasz: (5) 1 15 2 10 3 6 4 3 5 1 70S =  +  +  +  +  = háromszög a válasz.

Az előző választ tudatosan írtuk az előbbi alakba, ugyanis így könnyű az
általánosítás, ugyanis az 1, 2, 3, 4, 5 egymás utáni számok melletti
szorzótényezők éppen az úgynevezett „háromszög-számok”, vagyis ha



1 2 2 3 3 4
+
+
+
t = 1= , t = 1 2 = , t = 1 2 3 = és általában
1
2 2 2 3 2
( n n + 1)
t = 1 2 ... n = . Ekkor tehát az előző összeg kiemelt formában így
+
+
+
n
2
k 
1 



−
−

írható: (5) 1S = t  5 + 2 t + 3 t + 4 t + 5 t = 5 (6 k )t = 5 (6 k ) ( k k + 1) .
2
3
4
k= 1 k= 1 2
+
−
−
+
(5 1 m )(5 2 m )

Tehát tulajdonképpen ( )m = , m 1,2,3,4,5 . Így hát

2
a feladat általánosításának az összegét a következőképpen kapjuk meg:
n
n
n
n
3
−
k −
2
n
S ( ) =  (6 k ) ( k k + 1) =  1  6 n k + 6   k −  k   2  .
k 1 = 2 2  k 1 = k 1 = k 1 = k 1 = 

178