Page 176 - vol1

3. feladat: Legyen n ≥ 1 természetes szám. Hány különböző négyzetet
rajzolhatunk egy n n -es négyzetrácsra, ha a négyzet csúcsai illeszkednek a
négyzetrács rácspontjaira?
Megoldás: Vegyük észre, hogy nincs más dolgunk, mint összeadjuk a két előző
+
=
n
n
n
feladat eredményét, vagyis S ( ) V ( ) F ( ) ami azt jelenti, hogy
3
2
( n n + 1)(2n + 1) n 2 (n − 1) ( n n + 4n + 5n + 2)
2
S ( ) = + = .
n
6 12 12
3
Ezzel általánosítottuk a feladatot, és az is belátható, hogy ha n = akkor
=
S (3) 20 valóban igaz.
2. Háromszögek a rácshálózaton

A probléma ezúttal nem a négyzetrácsos hálózaton, hanem a szabályos
háromszögrács hálózaton lesz tárgyalva.
A KöMaL 3/1992/március, 126. oldal, GY: 2763. feladata a következő:
Egy szabályos háromszög minden oldalát 5 egyenlő részre osztottuk, majd az
osztópontokon át a háromszög oldalaival párhuzamos egyeneseket rajzoltunk.
Ezeknek az egyeneseknek és a háromszög oldalainak a háromszög belsejében és
kerületén 21 metszéspontjuk van. Hány olyan szabályos háromszög van,
amelynek mindhárom csúcsa ezen metszéspontok egyike?

A probléma megoldása nagyon hasonlít az előző probléma megoldására.
A vízszintesen elhelyezkedő háromszögek módszeres megszámlálása nem tűnik
nehéznek, és valójában nem is az. Ellenben vannak ferde (elcsavart) szabályos
háromszögek is! Ezeknek a megszámlálása valamilyen jó módszert igényel. Ez
meg fog egyezni azzal a módszerrel amit a négyzetek esetén alkalmaztunk:
minden ferde háromszöget, úgy tekintünk, mint egy szabályos háromszögbe
„beírt” háromszöget!
Ismételjük csak hát, hogy is jártunk el a négyzetrács esetén.

176