Page 177 - vol1

Minden PRS ferde négyzetet úgy tekinthetünk, hogy bele van írva, egy
rácsnégyzetbe, amelyeknek a méretei 1 1 -től n n -ig változnak, és
természetesen a beírt négyzet csúcsai a k k méretű négyzet kerületén vannak.
Ezután, az R csúcsot a T-től kezdve a rácson léptetjük a W felé, másszóval a PQRS
négyzetet „forgatjuk” (és nyújtjuk is) úgy, hogy a csúcsok megmaradjanak az
UVWT négyzet kerületén. Így egy k k méretű UWVT négyzet esetén, éppen
k − 1 beleírt különböző ferde PQRS négyzetet kapunk.
A szabályos háromszögek esetén pontosan ugyanígy járunk el. Itt is
léptetjük például a P csúcsot az UV oldal rácspontjain, és ezzel egyidőben
természetesen az R és a Q csúcsokat is, vagyis a PQR háromszögek forgatva
változnak. Itt is belátható, hogy amennyiben az UVW rácsháromszög k k
méretű, úgy k − 1 beleírt különböző ferde PQR szabályos háromszöget kapunk,

minden k  1,2,...,n esetén.
Mielőtt azonban általánosítanánk a feladatot, előbb oldjuk meg a
kitűzött sajátos esetet, amikor n = 5.
Jelölje rendre (1), (2), ..., (5)   az 1, 2, …, 5 egységnyi oldalhosszal
rendelkező  helyzetű háromszögek számát, amibe még beleszámoljuk az illető
háromszögbe beleírt ferde érintő háromszögeket is.
+
+
=
+
=
+
Természetesen  (1) 1 2 3 4 5 15, továbbá
nézzük a (2) értékét: az ábrán látható 2 egységnyi oldallal
rendelkező háromszögből az eredeti rajon éppen
=
+
+
+
1 2 3 4 10 darab van, de mindegyikben van egy beírt
„szürke” kisháromszög (így a fordított állású 1 egységoldalú háromszögeket is
megszámoltuk, nemcsak a  helyzetűeket). Tehát (2) 2 10 20 =  = .
Nézzük most a  (3) értékét. Az eredeti ábrán a 3 oldalegységnyi
szabályos háromszögből 1 2 3 6+ + = darab van, és mindegyikben van 2 2−
ferde háromszög, amint az ábrán is láthatóak. Tehát (3) 6 2 6 3 6 18 = +  =  =

177