Page 174 - vol1

Tehát összesen 9+4+1+4+2=20 négyzetet rajzolhatunk a rácspontokra.

A továbbiakban az előző feladatot fogjuk általánosítani, amikor a 4×4-es rács
helyett (n+1)×(n+1) rácspontból álló rácshálózatról van szó, ahol n 1
természetes szám. Látni fogjuk, hogy ez az általánosítás nagyon tanulságos és
érdekes lesz.
Már az előző feladat megoldása során láttuk, hogy tulajdon képpen két
részfeladatról van szó. Az egyik az, amikor a vízszintes helyzetű négyzeteket
számoljuk meg, a másik pedig az, amikor a ferde négyzeteket számoljuk meg. Az
általánosítás során is így járunk el, ezért megfogalmazzuk a következő két
segédfeladatot:
1. feladat: Legyen n ≥ 1 természetes szám. Hány különböző négyzetet
rajzolhatunk egy n n -es négyzetrácsra, ha a négyzet csúcsai illeszkednek a
négyzetrács rácspontjaira, és a négyzet oldalai csak vízszintesek vagy
függőlegesek lehetnek?
2
Megoldás: Az 1×1-es kisnégyzetekből éppen n×n = n darab található. Most
nézzük a 2×2-es méretű négyzeteket. Ezekből soronként n − 1 darab van, és
2
lefele n − 1 sorunk lesz, ezért összesen (n − 1) × (n − 1) = (n − 1) darab 2 × 2-es
kisnégyzetünk lesz. Ezt az eljárást folytatva az (n−1)×(n−1)-es négyzetből, 2
2
sorban, soronként 2 van, azaz összesen 2 × 2 = 2 . Végül az n × n-es négyzetből
1 darab van, és ezzel megkaptuk, hogy az n × n-es látható V(n) vízszintes
négyzetek száma:

( n n + 1)(2n + 1) 2n + 3n + n
3
2
2
2
2
2
2
V(n)=1 +2 +3 +…+(n-1) +n = = (1)
6 6
A megoldás során szintetikusan is gondolkodhattunk volna, például így:
Jelöljünk ki a négyzetrács bal felső sarkában egy k×k nagyságú négyzetet.
Ezt a négyzetet egyesével (n-k)- szor lehet jobbra léptetni a négyzetrács
jobb oldalának az eléréséig. Ha ehhez a számhoz hozzáadjuk a kezdeti 1
pozíciót, akkor megvan a vízszintesen megszámlálható négyzetek száma
éppen (n-k+1). Mivel négyzetrácsról van szó, ezért függőlegesen, az
oszloponként is ugyanennyi van. Innen adódok tehát, hogy az összes
látható négyzetek száma:

n
 (n k + 1) = n + (n − 1) + ... 2 + 1 = ( n n + 1)(2n + 1)
+
−
2
2
2
2
2
k= 1 6

174