Page 183 - vol1

valóan, hogy még a kezdetek kezdetén könnyen belátható, hogy
=
lim x = lim y =  . És az 1. művelet alapján lim(x − y ) lim x − lim y
n→ n n→ n n→ n n n→ n n→ n
+
 a =  − vagyis  − = a . Tehát, ha az x = n n a sorozatban az „a”
valós számot konkrétan megválasszuk, y = pedig változatlan, akkor erre a
n
n
sorozatokra (és)  − = a éppen a megválasztott konkrét „a” szám.
Tehát a − érték minden valós számmal egyenlő lehet! Most belátjuk,
2
hogy  −  = + vagy − = − is lehetséges. Legyen most x = n és
n
y = , ekkor lim x = lim y =  . Továbbá az 1. művelet alapján
n
n
n→ n n→ n
=
lim(x − y ) lim x − lim y = −, másfelől
n→ n n n→ n n→ n
lim(x − y ) = lim(n − ) n = lim n 2   1− 1   =  . Tehát ezúttal  −  = + .
2
n→ n n n→ n→  n 
Ha most összecseréljük a két sorozatot, akkor − = − adódik, tehát


,
− minden értéket felvehet az R = − + halmazból.
(2) A 0  értékének a tisztázása végett vegyük például a következő két
a
sorozatot: x = és y = , ahol „a” egy tetszőleges valós szám! Könnyen
n
n
n n
látható, hogy lim x = 0, és lim y =  . A 2. művelet alapján
n→ n n→ n

=
lim(x y ) lim x  lim y  a =  , vagyis 0 = . Tehát, ha az
a
0
n→ n n n→ n n→ n
a
x = sorozatban az „a” valós számot konkrétan megválasszuk, y = pedig
n
n
n n
a
változatlan, akkor ezekre a sorozatokra 0 = éppen a megválasztott konkrét
„a” szám. Ezért tehát a 0  érték minden valós számmal egyenlő lehet! Most
a
belátjuk, hogy 0 =  is lehetséges. Legyen most x = és y = n .
2
n
n n
Ugyancsak a 2. művelet alapján lim(x y ) lim x  lim y =0  ,másfelől
=
n→ n n n→ n n→ n

lim(x y = lim(a n ) = .
)
n→ n n x→
7

183