Page 175 - vol1

2.feladat: Legyen n ≥ 1 természetes szám. Hány különböző négyzetet
rajzolhatunk egy n n -es négyzetrácsra, ha a négyzet csúcsai illeszkednek a
négyzetrács rácspontjaira, és a négyzet oldalai nem vízszintesek és nem
függőlegesek?
Megoldás: Tehát úgymond ferde négyzetektől van szó. Az általános eset jobb
megértése végett, figyeljük meg részletesen az előbbi 3×3-as esetet. Az előző
feladat alapján tehát a vízszintes elhelyezkedésű négyzetek száma
+
+
9 4 1 1 + 2 + 3 . Most a ferde helyzetű négyzetek
=
2
2
2
számát fogjuk megállapítani. A megoldás lényege a
következő: minden ferde négyzetet úgy tekinthetünk,
mint egy négyzet kerületére írt négyzetet. Például, a
mellékelt ábrán levő ferde négyzetet úgy tekintjük, mint
egy 7×7-es négyzet kerületére írt négyzetet. Ha most a
ferde négyzet bal felső csúcsát a rácspontokon jobb fele
léptetjük egyet, akkor éppen 6 ilyen méretű, de különböző négyzetet kapunk.

Visszatérve a 3×3-as feladatra: a vízszintes 2×2-es négyzet mindegyikébe 1-1
ferde négyzetet írhatunk, ezért van belőlük 4 darab. A 3×3-as vízszintes négyzet
kerületére 2 darab egyforma négyzetet rajzolhatunk. Összefoglalva tehát, az
n×n-es rácson ha ( )F n -el jelöljük a ferde négyzetek számát, és ( )S n -el az összes
=
2
=
+
+
2
2
n
négyzetek számát, akkor felírható, hogy: F ( ) 4 2 1  2 2  tehát
=
=
2
2
+
2
2
2
2
2
=
2
S (3) 1 + 2 + 3 + F (3) 1 + 2 + 3 + 1  2 2  2 20 . A kapott eredmény
könnyebb általánosíthatósága végett fogalmazzuk meg ezt az eredményt 4×4-es
esetben. Ekkor ez írható:
2
2
2
3
+
+
2
2
2
2
2
2
=
2
=
S (4) 1 + 2 + 3 + 4 + F (4) 1 + 2 + 3 + 4 + 1  3 2  2 3  1. Így
most már kialakul az általános képlet megfogalmazása is, amit nem kell
indukcióval bizonyítanunk, hiszen a magyarázat direktbe megfogalmazható
n×n-es rács esetén is. Tehát n×n-es rács esetén
2
2
2
2
=
+
+
+
+
n
F ( ) 1  (n− 1) 2  (n− 2) ... (n− 2)  2 (n− 1) 
1
Ezt az összeget fogjuk most zárt alakra hozni:
n− 1 n− 1 n− 1 (n − 1) (2n − 1) n 2 (n − 1) 2
n
3
−
2
)
n
F ( ) =  k 2 (n k = n  k −  k = n − . Ha most
k= 1 k= 1 k= 1 6 4
2
n 2 (n − 1)
elvégezzük a számolásokat azt kapjuk, hogy ( )F n = .
12

175